Какую обыкновенную дробь можно найти, которая будет равна периодической десятичной дроби 0,(6)? Пожалуйста

Для решения этой задачи, давайте введем обозначение: пусть \(x\) будет периодической десятичной дробью 0,(6). Мы хотим найти обыкновенную дробь, которая будет равна \(x\).

Чтобы найти такую дробь, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами периодических десятичных дробей. Заметим, что 0,(6) можно представить в виде суммы двух дробей: 0,6 и 0,00...1, где цифра 1 повторяется бесконечное количество раз. Таким образом, мы можем записать:

\[x = 0,6 + 0,00...1\]

Первое слагаемое 0,6 - это обыкновенная дробь, поскольку оно не имеет периода или бесконечно повторяющихся цифр. Давайте выразим его в виде обыкновенной дроби:

\[0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]

Теперь обратимся ко второму слагаемому 0,00...1. Для нахождения его новой записи в виде обыкновенной дроби, давайте обозначим его за \(y\). Тогда мы можем записать:

\[y = 0,00...1\]

Чтобы получить эту дробь в виде обыкновенной дроби, умножим \(y\) на 10:

\[10y = 10 \cdot 0,00...1\]

Теперь вычитаем уравнение \(y = 0,00...1\) из этого нового уравнения:

\[10y - y = 10 \cdot 0,00...1 - 0,00...1\]

Упрощая выражения, получаем:

\[9y = 10\]

Теперь делим обе части уравнения на 9, чтобы найти значение \(y\):

\[y = \frac{10}{9}\]

Теперь, чтобы найти значение дроби \(x\), сложим две полученные дроби:

\[x = \frac{3}{5} + \frac{10}{9}\]

Для сложения этих дробей, найдем их общий знаменатель, который является наименьшим общим кратным знаменателей 5 и 9, то есть 45:

\[\frac{3}{5} + \frac{10}{9} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} + \frac{10 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{27}{45} + \frac{50}{45}\]

Теперь сложим числители:

\[\frac{27}{45} + \frac{50}{45} = \frac{27 + 50}{45} = \frac{77}{45}\]

Итак, обыкновенная дробь, которая будет равна периодической десятичной дроби 0,(6), равна \(\frac{77}{45}\).