Какую наименьшую сумму m+n представляет пара натуральных чисел (m,n), удовлетворяющих условию m^2-n^2=2720?

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти пару натуральных чисел (m,n), удовлетворяющих условию \(m^2-n^2=2720\), где \(m\) и \(n\) - натуральные числа.

Давайте посмотрим на данное уравнение и попытаемся его упростить. Заметим, что \(m^2-n^2\) является разностью двух квадратов. Используя известную формулу разности квадратов, можем переписать это выражение следующим образом:

\[m^2-n^2 = (m-n)(m+n) = 2720\]

Теперь у нас есть произведение двух чисел \((m-n)\) и \((m+n)\), равное 2720. Мы ищем наименьшую сумму \(m+n\), так что наша задача сводится к поиску таких двух чисел \(m-n\) и \(m+n\), произведение которых равно числу 2720 и сумма \(m+n\) минимальна.

Чтобы найти эти числа, давайте составим таблицу с различными комбинациями их значений:

\[
\begin{{array}}{{|c|c|c|}}
\hline
m-n & m+n & m+n \\
\hline
1 & 2720 & (m=1361, n=1360) \\
2 & 1360 & (m=681, n=679) \\
4 & 680 & (m=342, n=338) \\
5 & 544 & (m=274, n=270) \\
8 & 340 & (m=174, n=166) \\
10 & 272 & (m=141, n=131) \\
16 & 170 & (m=93, n=77) \\
17 & 160 & (m=88, n=71) \\
20 & 136 & (m=78, n=58) \\
32 & 85 & (m=58, n=27) \\
34 & 80 & (m=57, n=23) \\
40 & 68 & (m=54, n=14) \\
\hline
\end{{array}}
\]

Из этой таблицы видно, что наименьшая сумма \(m+n\) равна 80, с соответствующими значениями \(m=57\) и \(n=23\).

Таким образом, искомая наименьшая сумма \(m+n\) равна 80, а пара натуральных чисел \((m,n)\) равна (57, 23).

Пожалуйста, обратите внимание, что при решении данной задачи было применено разложение разности квадратов и последующий анализ различных комбинаций значений.