Какую начальную скорость имел мяч, если он брошен вертикально вверх из точки на высоте h, и за время движения пролетел

Дано:
Высота начальной точки, h
Пройденный путь, S = 3h

Чтобы найти начальную скорость мяча, можно воспользоваться уравнением движения с постоянным ускорением:
S = ut + (1/2)at^2

В данной задаче ускорение мяча будет равно ускорению свободного падения g, так как мяч движется вертикально вверх и потом падает вниз.

Из уравнения движения получаем:
S = (1/2)gt^2

Так как мяч движется вертикально вверх и потом падает вниз, общее время движения можно разделить на две равные части:
t_вверх + t_вниз = t

Время движения в каждом направлении будет равно половине общего времени:
t_вверх = t_вниз = t/2

Теперь можно записать уравнение для времени движения вверх или вниз:
S = (1/2)gt^2
3h = (1/2)g(t/2)^2
6h = gt^2/4
2h = gt^2/12
2h * 12/g = t^2
24h/g = t^2
t = sqrt(24h/g)

Таким образом, время движения мяча составляет t = sqrt(24h/g)

Для нахождения скорости падения мяча можно использовать следующее уравнение:
v = u + at

Мяч движется вертикально вниз, поэтому начальная скорость будет равна 0. В уравнении ускорение равно ускорению свободного падения -g:
v = 0 + (-g)t
v = -gt

Таким образом, скорость падения мяча равна v = -gt.

Теперь вы можете найти начальную скорость мяча, подставив найденное время движения в уравнение:
v = -g*sqrt(24h/g)
v = -sqrt(24gh)

Ответ: Начальная скорость мяча равна -sqrt(24gh). Время движения составляет t = sqrt(24h/g), а скорость падения мяча равна v = -gt.