Какую мощность должна иметь лампа, чтобы освещенность на земле на расстоянии 10 м от основания столба составляла

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся следующей формулой:

\[I = \frac{P}{A} \quad (1)\]

где \(I\) - освещенность в люксах, \(P\) - мощность источника света (лампы), \(A\) - площадь поверхности, освещенность которой измеряется (площадь, на которую падает свет).

Задача говорит нам о необходимости достичь освещенности в 2,5 лк на расстоянии 10 м от основания столба. При этом мы не знаем площадь, на которую падает свет, поэтому создадим предположение о форме поверхности, чтобы рассчитать её площадь.

Давайте представим, что свет от лампы распространяется равномерно во всех направлениях и образует конус, в вершине которого находится лампа, а расстояние от вершины конуса до поверхности Земли равно 10 м.

\[
\begin{align*}
&lamp\\
&\downarrow\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{---Earth----}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
&\text{------------}\\
\text{Target Point}
\end{align*}
\]

Мы можем предположить, что поверхность Земли разделена на несколько горизонтальных кругов, как показано на чертеже выше. Радиусы этих кругов будут увеличиваться по мере удаления от лампы и, соответственно, площади этих кругов также будут расти, и суммарная площадь всех кругов на расстоянии 10 м будет общей площадью поверхности, освещенность которой хотим найти.

Теперь нужно рассчитать площадь каждого такого круга и затем сложить их.

Площадь круга находится по формуле:

\[A = \pi r^2 \quad (2)\]

где \(r\) - радиус круга, \(A\) - площадь круга.

В данной задаче, в связи с наличием конуса, радиус круга будет изменяться в зависимости от расстояния от лампы. Например, на расстоянии 10 м радиус круга будет равен 10 м.

Теперь давайте рассчитаем площадь поверхности для каждого круга и найдем сумму.

Для первого круга (расстояние 0-1 м):

\[A_1 = \pi \cdot (1)^2 = \pi \approx 3.14\]

Для второго круга (расстояние 1-2 м):

\[A_2 = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi \approx 12.57\]

Аналогичным образом можно рассчитать площадь для третьего круга, четвертого круга и так далее, пока не достигнем расстояния в 10 м.

Суммируя все площади кругов, получим общую площадь:

\[A_{\text{общ}} = A_1 + A_2 + \ldots + A_{10} = \pi + 4\pi + \ldots + 100\pi = \pi \cdot (1 + 4 + \ldots + 100)\]

Теперь, используя уравнение (1), мы можем найти мощность лампы (\(P\)):

\[P = I \cdot A_{\text{общ}}\]

Подставим значения освещенности (2,5 лк) и общей площади (\(A_{\text{общ}}\)):

\[P = 2,5 \cdot \pi \cdot (1 + 4 + \ldots + 100) \quad (3)\]

Теперь осталось только найти сумму ряда чисел от 1 до 100.

Мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(S\) - сумма ряда, \(n\) - количество членов в ряду, \(a_1\) - первый член ряда, \(a_n\) - последний член ряда.

В нашем случае, первый член ряда (\(a_1\)) равен 1, последний член ряда (\(a_n\)) равен 100, а количество членов в ряду (\(n\)) также равно 100.

Теперь можем рассчитать сумму ряда:

\[S = \frac{100}{2}(1 + 100) = 50 \cdot 101 = 5050\]

Теперь, подставим значение суммы ряда в уравнение (3):

\[P = 2,5 \cdot \pi \cdot 5050 = 12625\pi \, \text{лк} \, \text{м}^2\]

Итак, мощность лампы, чтобы достичь освещенности в 2,5 лк на расстоянии 10 м от основания столба, должна быть равна \(12625\pi\) лк м\(^2\).