Какую минимальную скорость v должен иметь вылетающий шар, чтобы пистолет мог функционировать, если во время выстрела

Чтобы ответить на этот вопрос, нам необходимо использовать закон Гука о поперечной силе пружины. Закон Гука гласит, что сила, действующая на пружину, прямо пропорциональна её удлинению. Формула, описывающая это, имеет вид:

\[F = -kx\]

где F - сила, k - жесткость пружины, x - удлинение пружины.

В данной задаче, на пружину, которая связывает кожух с корпусом пистолета, действует сила, обусловленная вылетающим шаром. Найдем эту силу.

Так как кожух отскакивает назад на расстояние x = 3 см = 0,03 м, то это означает, что пружина будет удлиняться на эту величину.

\[F = -kx = -(4 \, \text{кН/м}) \times (0,03 \, \text{м})\]

Для удобства вычислений переведем жесткость пружины в СИ:

\[k = 4 \, \text{кН/м} = 4000 \, \text{Н/м}\]

Подставим значения:

\[F = -(4000 \, \text{Н/м}) \times (0,03 \, \text{м})\]

\[F = -120 \, \text{Н}\]

Согласно 3-ему закону Ньютона, действует равносильная по модулю сила, направленная в противоположную сторону. То есть, сила, с которой шар действует на пистолет, равна 120 Н.

Чтобы пистолет мог функционировать, сила, действующая на пистолет, должна быть равна нулю. Поэтому мы можем записать уравнение:

\[F_{\text{шара}} + F_{\text{пистолета}} = 0\]

\[120 \, \text{Н} + F_{\text{пистолета}} = 0\]

Отсюда можно найти силу, с которой шар действует на пистолет:

\[120 \, \text{Н} = - F_{\text{пистолета}}\]

Так как сила - это произведение массы на ускорение, то

\[120 \, \text{Н} = - m \cdot a\]

Но мы знаем, что ускорение по своей сути - это изменение скорости со временем. То есть

\[a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\]

или

\[a = \frac{v}{t}\]

где v - скорость вылетающего шара, t - время вылета.

Так как мы хотим найти минимальную скорость, то предположим, что время вылета минимально, т.е. равно нулю. Это означает, что шар мгновенно вылетает. Поэтому мы можем записать уравнение:

\[120 \, \text{Н} = - m \cdot \frac{v}{0}\]

\[120 \, \text{Н} = - m \cdot \infty\]

Из данной формулы мы видим, что масса шара (m) равна нулю. Это не имеет физического смысла, поэтому наше предположение о мгновенном вылете шара неверно.

Мы можем заключить, что скорость вылетающего шара должна быть конечной и не может быть определена, не зная массу шара. Другими словами, для того, чтобы пистолет мог функционировать, необходимо, чтобы скорость шара была достаточной для сохранения равенства силы отдачи и силы, с которой шар действует на пистолет.