Какую максимальную скорость имеет точка при прямолинейном движении, если ее путь в зависимости от времени задан

Для нахождения максимальной скорости точки при прямолинейном движении, необходимо продифференцировать уравнение пути по времени и найти моменты времени, когда производная равна нулю.

Дано уравнение пути:
\[s = -t^3 + 6t^2 + 24t - 5\]

Для начала, продифференцируем уравнение по времени \(t\), чтобы получить уравнение скорости.
Дифференцируя каждый член по отдельности, получим:
\[\frac{ds}{dt} = -3t^2 + 12t + 24\]

Теперь, чтобы найти максимальную скорость, приравняем производную скорости к нулю и решим полученное уравнение:
\[-3t^2 + 12t + 24 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = -3\), \(b = 12\), и \(c = 24\).

Вычислим дискриминант:
\[D = 12^2 - 4(-3)(24) = 144 + 288 = 432\]

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем значения коэффициентов и дискриминант в эту формулу:
\[t_1 = \frac{-12 + \sqrt{432}}{2(-3)}\]
\[t_2 = \frac{-12 - \sqrt{432}}{2(-3)}\]

Вычисляем значения:
\[t_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{108}}{-6} = \frac{-12 + 2\sqrt{36 \cdot 3}}{-6} = \frac{-12 + 2 \cdot 6\sqrt{3}}{-6} = \frac{-12 + 12\sqrt{3}}{-6} = 2 - \sqrt{3}\]
\[t_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{108}}{-6} = \frac{-12 - 2\sqrt{36 \cdot 3}}{-6} = \frac{-12 - 2 \cdot 6\sqrt{3}}{-6} = \frac{-12 -12\sqrt{3}}{-6} = 2 + \sqrt{3}\]

Теперь, чтобы найти максимальную скорость, подставим найденные значения \(t\) обратно в уравнение скорости:
\[v_1 = -3(2 - \sqrt{3})^2 + 12(2-\sqrt{3}) + 24\]
\[v_2 = -3(2 + \sqrt{3})^2 + 12(2+\sqrt{3}) + 24\]

Вычислим значения:
\[v_1 = -3(4 - 4\sqrt{3}+3) + 12(2-\sqrt{3}) + 24 = -3(7 - 4\sqrt{3}) + 12(2-\sqrt{3}) + 24 = 12\]
\[v_2 = -3(4 + 4\sqrt{3}+3) + 12(2+\sqrt{3}) + 24 = -3(7 + 4\sqrt{3}) + 12(2+\sqrt{3}) + 24 = 72\sqrt{3}\]

Таким образом, в моменты времени \(t_1 = 2 - \sqrt{3}\) и \(t_2 = 2 + \sqrt{3}\), точка имеет максимальную скорость соответственно \(v_1 = 12\) и \(v_2 = 72\sqrt{3}\).

Ответ: Максимальная скорость точки при прямолинейном движении составляет 12 и \(72\sqrt{3}\) в моменты времени \(t_1 = 2 - \sqrt{3}\) и \(t_2 = 2 + \sqrt{3}\) соответственно.