Какую форму имеет уравнение данной линии в декартовой системе координат, если уравнение линии дано в полярной системе

Для начала, заметим, что в полярной системе координат уравнение \(r = \cos{\phi}\) задает линию. Теперь мы хотим выразить это уравнение в декартовой системе координат, то есть в виде \(y = f(x)\). Для этого нам понадобятся формулы преобразования координат:

\[x = r \cdot \cos{\phi}\]
\[y = r \cdot \sin{\phi}\]

Подставим значение \(r = \cos{\phi}\) в данные формулы:

\[x = \cos{\phi} \cdot \cos{\phi} = \cos^2{\phi}\]
\[y = \cos{\phi} \cdot \sin{\phi}\]

Теперь мы должны избавиться от параметра \(\phi\) и получить уравнение в виде \(y = f(x)\). Для этого воспользуемся известной формулой \(\sin^2{\phi} + \cos^2{\phi} = 1\). Разделим оба уравнения на \(\cos^2{\phi}\):

\[\frac{x}{\cos^2{\phi}} = 1\]
\[\frac{y}{\cos{\phi}} = \sin{\phi}\]

Теперь мы можем заменить \(\sin{\phi}\) с помощью формулы \(\sin{\phi} = \sqrt{1 - \cos^2{\phi}}\):

\[\frac{y}{\cos{\phi}} = \sqrt{1 - \cos^2{\phi}}\]

Домножим оба уравнения на \(\cos{\phi}\):

\[y = \cos{\phi} \cdot \sqrt{1 - \cos^2{\phi}}\]

Так как \(\cos^2{\phi}\) неотрицательное значение, то \(\sqrt{1 - \cos^2{\phi}}\) равно \(|\sin{\phi}|\). Заменим наше выражение:

\[y = \cos{\phi} \cdot |\sin{\phi}|\]

Но мы знаем, что \(|\sin{\phi}| = \sqrt{\sin^2{\phi}} = \sqrt{1 - \cos^2{\phi}}\), поэтому можем записать выражение в более простой форме:

\[y = \sqrt{1 - \cos^2{\phi}} = \sqrt{1 - x}\]

Таким образом, уравнение линии в декартовой системе координат будет иметь форму:

\[y^2 = 1 - x\]

Правильный вариант ответа: \(y^2 = 1 - x\).