Какую длину имеет третья сторона треугольника, если две из его сторон равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними составляет

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая позволяет нам найти длину третьей стороны треугольника.

Теорема косинусов гласит: в любом треугольнике с известными длинами сторон \(a\), \(b\) и углом \(\theta\) между этими сторонами, квадрат третьей стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формула выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)\]

В нашем случае, стороны треугольника имеют длины 8 см и \(4\sqrt{3}\) см, а угол между ними составляет 30 градусов. Подставим эти значения в формулу:

\[c^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot \cos(30^\circ)\]

Выполняя вычисления, получим:

\[c^2 = 64 + 48 - 64\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[c^2 = 112 - 64 \cdot \frac{3}{2}\]

\[c^2 = 112 - 96\]

\[c^2 = 16\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[c = \sqrt{16}\]

\[c = 4\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна 4 см.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника по длинам его сторон и высоте, опущенной на одну из сторон. Опустим высоту на сторону длиной 8 см, тогда высота будет равной \(h = 8 \cdot \sin(30^\circ)\).

Теперь можем найти площадь треугольника, используя формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ)\]

Выполняя вычисления, получим:

\[S = 16\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\]

\[S = 4\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь данного треугольника равна \(4\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.