Какой знак имеет данное выражение: 0 b^2+4 (b+2)(4−b)? Отметь ответ (выбери один из вариантов): положительный, нельзя

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

У нас дано выражение: \(0b^2 + 4(b+2)(4-b)\).

Начнем с упрощения данного выражения. Раскроем скобки во втором слагаемом:

\(0b^2 + 4(4 - b)(b + 2)\).

Теперь перемножим \(4 - b\) и \(b + 2\):

\(0b^2 + 4(4 \cdot b + 2 \cdot b - b \cdot b - b \cdot 2)\).

Упрощаем:

\(0b^2 + 4(6b - b^2 - 8)\).

Распишем умножение:

\(0b^2 + 24b - 4b^2 - 32\).

Теперь сложим все слагаемые:

\(-4b^2 + 24b - 32\).

Выражение приняло форму квадратного трехчлена. Давайте определим его знак.

Прежде всего, обратим внимание на коэффициент при старшей степени \(b^2\), который равен \(-4\).

Если коэффициент \(a\) при \(b^2\) отрицательный, то график квадратного трехчлена будет направлен вниз.

Теперь проверим, можно ли однозначно определить знак выражения. Для этого рассмотрим дискриминант квадратного трехчлена.

Дискриминант \(D\) квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае коэффициент \(a = -4\), коэффициент \(b = 24\), а коэффициент \(c = -32\).

Вычислим дискриминант:

\[D = (24)^2 - 4(-4)(-32)\].

\[D = 576 - 512 = 64.\]

Дискриминант положительный, что означает, что график квадратного трехчлена пересекает ось \(X\) и имеет два корня.

Теперь давайте проанализируем знак выражения во всех интервалах между корнями и за пределами этих корней.

Для этого найдем вершины квадратного трехчлена. Вершина имеет координаты \((h, k)\), где \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = -\frac{D}{4a}\).

В нашем случае:

\[h = -\frac{24}{-8} = 3.\]
\[k = -\frac{64}{-16} = 4.\]

То есть вершина имеет координаты \((3, 4)\).

Давайте построим график для лучшего понимания:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & (-\infty, 3) & (3, +\infty) \\
\hline
\text{Знак выражения} & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Итак, на интервале \((-\infty, 3)\) выражение отрицательное, а на интервале \((3, +\infty)\) выражение положительное.

Следовательно, ответ на задачу: выражение имеет знак "положительный".