Какой заряд протек через лежавшее на горизонтальном столе металлическое кольцо, когда оно было повернуто на угол

Для решения этой задачи воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея. Согласно этому закону, индуцированная ЭДС \(E\) в контуре равна произведению скорости изменения магнитного потока через контур на количество витков контура.

Магнитный поток через кольцо можно выразить как произведение магнитной индукции \(B\) на площадь кольца из выражения \(\phi = BA\), где \(A\) — площадь кольца.
Поскольку кольцо было повернуто на угол 90 градусов, площадь кольца \(A\) в новом положении будет равна \(A = \pi r^2\sin(90^\circ) = \pi r^2\) (так как \(\sin(90^\circ) = 1\)).

Таким образом, изменение магнитного потока будет равно \(\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = (BA)_2 - (BA)_1\).
Так как изначально кольцо было на столе горизонтально и магнитное поле направлено на север, то его площадь поперечного сечения находилась перпендикулярно магнитному полю.
Когда же кольцо повернули на 90 градусов, его площадь стала параллельна магнитному полю.

Таким образом, магнитный поток во втором положении будет равен нулю, а магнитный поток в первом положении будет равен \(\phi_1 = BA = B \cdot \pi r^2\).
Тогда, изменение магнитного потока будет \(\Delta\phi = (BA)_2 - (BA)_1 = 0 - B\pi r^2 = -B\pi r^2\).

Осталось найти индуцированную ЭДС \(E\), учитывая, что сопротивление кольца нужно учесть. Для этого воспользуемся законом Ома \(E = IR\), где \(I\) — заряд, протекший через кольцо, а \(R\) — его сопротивление.

По закону сохранения энергии мощность, затрачиваемая на преодоление сопротивления, равна мощности, полученной за счет электромагнитной индукции.
Так как преодолеваемая мощность равна \(P = I^2R\), а полученная мощность равна \(P" = \Delta\phi\), то \(I^2R = \Delta\phi\).
Подставив значение \(\Delta\phi = -B\pi r^2\), получим \(I^2R = -B\pi r^2\).

Теперь, найдем заряд \(I\), прошедший через кольцо.
Для этого выразим \(I\) из уравнения \(I^2R = -B\pi r^2\):
\[I = \sqrt{\frac{-B\pi r^2}{R}}\].

Таким образом, заряд \(I\), протекший через кольцо при повороте на угол 90 градусов вокруг горизонтальной оси, равен \(\sqrt{\frac{-B\pi r^2}{R}}\).

Обратите внимание, что в задаче не указаны конкретные значения магнитной индукции \(B\) и сопротивления \(R\) кольца. Поэтому осуществить точные вычисления и получить численный ответ мы не можем, но мы можем предоставить выражение для заряда через известные величины \(B\), \(r\) и \(R\).