Какой заряд проходит через кольцо, если металлическое кольцо, имеющее радиус r = 10 см и сопротивление R = 2 Ом, было

Для решения данной задачи, нам понадобится применить закон электромагнитной индукции Фарадея. Согласно данному закону, электродвижущая сила \( ЭДС \), индуцируемая в контуре, равна произведению скорости изменения магнитного потока, перекрываемого этим контуром, на число витков контура:

\[ ЭДС = -N \cdot \frac{{d \phi}}{{d t}} \]

где \( N \) - число витков контура, а \(\frac{{d \phi}}{{d t}}\) - скорость изменения магнитного потока.

В данной задаче, имеется металлическое кольцо, которое было перевернуто на столе. Колышащееся колесо находится в магнитном поле Земли.

Запишем выражение для ЭДС, проходящей через кольцо:

\[ ЭДС = -N \cdot \frac{{d \phi}}{{d t}} \]

Так как кольцо поворачивается в магнитном поле Земли, магнитный поток, пронизывающий кольцо, меняется. Магнитный поток \(\phi\) обозначим как площадь кольца, умноженную на магнитное поле:

\[ \phi = B \cdot S \]

где \( B \) - магнитное поле, \( S \) - площадь кольца.

Заменим в выражении для ЭДС значение магнитного потока:

\[ ЭДС = -N \cdot \frac{{d (B \cdot S)}}{{d t}} \]

Площадь кольца \( S \) равна площади окружности с радиусом \( r \):

\[ S = \pi \cdot r^2 \]

\[ ЭДС = -N \cdot \frac{{d (B \cdot \pi \cdot r^2)}}{{d t}} \]

Также, согласно закону Ома, напряжение \( U \) на элементе цепи равно произведению силы тока \( I \) на сопротивление цепи \( R \):

\[ U = I \cdot R \]

Теперь нам нужно выразить \( I \) через найденное в задаче значение ЭДС и сопротивление цепи:

\[ I = \frac{{U}}{{R}} \]

Подставим найденное значение ЭДС:

\[ I = \frac{{-N \cdot \frac{{d (B \cdot \pi \cdot r^2)}}{{d t}}}}{{R}} \]

Теперь можем приступить к численным расчетам:

Для начала, найдем скорость изменения магнитного потока, \(\frac{{d \phi}}{{d t}}\). В данной задаче условие не указывает, какая именно скорость угла (угловая скорость) изменения магнитного потока, поэтому для упрощения расчетов, предположим, что металлическое кольцо совершает полный оборот в течение времени \( \Delta t = 1 \) с.

Тогда, скорость изменения угла будет:

\[ \omega = \frac{{2 \pi}}{{\Delta t}} = \frac{{2 \pi}}{{1}} = 2 \pi \, \text{рад/с} \]

Теперь можем найти скорость изменения магнитного потока:

\[ \frac{{d \phi}}{{d t}} = B \cdot \frac{{d(\pi \cdot r^2)}}{{d t}} = B \cdot \pi \cdot \frac{{d (r^2)}}{{d t}} \]

Найдем производную от \( r^2 \) по времени:

\[ \frac{{d (r^2)}}{{d t}} = 2 \cdot r \cdot \frac{{d r}}{{d t}} \]

Так как мы предположили полный оборот за единицу времени (1 секунда), тогда значение \(\frac{{d r}}{{d t}}\) равно радиусу колеса \(r\):

\[ \frac{{d (r^2)}}{{d t}} = 2 \cdot r \cdot r = 2 \cdot r^2 \]

Теперь подставим полученные значения в выражение для ЭДС:

\[ ЭДС = -N \cdot B \cdot \pi \cdot 2 \cdot r^2 \]

Теперь осталось только посчитать значение ЭДС и ток \( I \):

Для расчетов возьмем значения \( B = 5 \cdot 10^{-5} \) Тл, \( r = 10 \) см, \( N = 1 \) виток и \( R = 2 \) Ом:

\[ ЭДС = -1 \cdot 5 \cdot 10^{-5} \cdot 3.14 \cdot 2 \cdot 0.1^2 \]

\[ ЭДС = -1 \cdot 5 \cdot 10^{-5} \cdot 3.14 \cdot 2 \cdot 0.01 \]

\[ ЭДС = -3.14 \cdot 10^{-7} \]

Используем найденную ЭДС, чтобы найти ток \( I \):

\[ I = \frac{{-3.14 \cdot 10^{-7}}}{{2}} \]

\[ I = -1.57 \cdot 10^{-7} \, \text{А} \]

Таким образом, через кольцо проходит ток \( -1.57 \cdot 10^{-7} \) А. Обратите внимание, что знак минус указывает на то, что ток имеет противоположное направление по сравнению со стандартным направлением тока. Это связано с тем, что кольцо было перевернуто в магнитном поле Земли.