Какой угол ВАС нужно найти в треугольнике ABC, где проведена биссектриса BN, угол ANB равен 65 °, а угол ACB равен

Чтобы найти угол ВАС в треугольнике ABC, нам понадобится использовать свойства биссектрисы. В данном случае, мы знаем, что угол ANB равен 65°. Давайте разберемся, как это поможет нам в решении.

Согласно свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на две части, пропорциональные смежным сторонам. Из этого следует, что отношение длины стороны AB к длине стороны BC равно отношению длины отрезка AN к длине отрезка NC. Мы можем записать это как \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{NC}}\).

Также мы знаем, что угол ACB равен 42 градусам, и это позволяет нам установить связь между углами ABC и BAC. В треугольнике ABC сумма всех углов равна 180 градусам. Поэтому угол BAC = 180° - угол ACB - угол ABC = 180° - 42° - угол ABC.

Теперь мы можем использовать известные значения для нахождения требуемого угла ВАС. Давайте приступим к решению.

У нас есть уравнение \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{NC}}\), где у нас есть значение \(\frac{{AN}}{{NC}}\):
\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AN}}{{BN + BC}}\),
так как \(BN = BC\) (биссектриса делится сторону сторону триугольника, создавая равные отрезки),

Теперь заменим угол ACB в уравнении:
\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AN}}{{BN + BC}} = \frac{{AN}}{{AN + BC}}\),

Для решения нам нужно найти угол ВАС. Обозначим его за \(x\). Тогда у нас будут следующие уравнения:

\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AN + BC}}\),
\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BN}}{{AN + BC}}\).

Теперь подставим известные значения:
\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BN}}{{AN + BC}}\),
\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BN}}{{AN + BN}}\),
\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BN}}{{AB}}\).

Мы получили уравнение \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BN}}{{AB}}\). Умножим оба выражения на \(AB\) и получим
\(AB = BN\), потому что \(AB\cdot\frac{{BN}}{{AB}} = BN\).

Таким образом, мы получаем, что \(AB = BN\). Отсюда следует, что треугольник ABC является равнобедренным треугольником, и угол ВАС равен 65°.

Итак, угол ВАС равен 65°.