Какой угол образует касательная к графику функции y=x^4-2x^3+3 в точке с x-координатой 1/2 с осью?

Чтобы найти угол, который касательная к графику функции образует с осью, мы должны определить угол наклона этой касательной. Для этого мы сначала найдем производную функции, выразим ее в общем виде и подставим значение x = \(\frac{1}{2}\) в полученное выражение.

Функция \(y = x^4 - 2x^3 + 3\) имеет следующую производную:
\[y" = 4x^3 - 6x^2\]

Теперь найдем значение производной в точке x = \(\frac{1}{2}\):
\[y"(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^3 - 6(\frac{1}{2})^2\]
\[y"(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{8}) - 6(\frac{1}{4})\]
\[y"(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}\]
\[y"(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}\]
\[y"(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}\]

Таким образом, угол наклона касательной к графику функции в точке с x-координатой \(\frac{1}{2}\) равен \( -\frac{1}{4}\).

Теперь определим угол между касательной и осью. Известно, что угол наклона касательной к прямой равен тангенсу этого угла. Поэтому, чтобы найти угол с осью, мы должны найти тангенс угла наклона и преобразовать результат обратно в градусы.

Тангенс угла наклона:
\[ \tan(\theta) = -\frac{1}{4} \]

Теперь возьмем арктангенс от полученного значения, чтобы найти значение угла:
\[ \theta = \arctan(-\frac{1}{4}) \]

Подставляя эти значения в калькулятор, получим приблизительное значение угла:
\[ \theta \approx -14.04^\circ \]

Итак, угол, который касательная к графику функции y=x^4-2x^3+3 образует с осью, составляет примерно -14.04 градусов.