Какой угол α c горизонтом должна составлять сила, чтобы ее модуль был минимальным, если на горизонтальной плоскости

Чтобы найти угол α, при котором модуль силы будет минимальным, нам понадобится знание о трении и основных принципах механики. Начнем с анализа сил, действующих на кубик.

На кубик действует сила тяжести \(F_{\text{тяж}}\), которую можно найти, умножив массу кубика \(m\) на ускорение свободного падения \(g\):
\[F_{\text{тяж}} = mg.\]

Также на кубик действует сила трения \(F_{\text{тр}}\), которая может быть найдена, используя коэффициент трения \(\mu\), нормальную силу \(N\) и угол \(\alpha\). Формула для силы трения:
\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot N.\]

Нормальная сила \(N\) можно найти, используя угол \(\alpha\) и силу тяжести:
\[N = mg \cdot \cos(\alpha).\]

Теперь мы можем выразить силу трения, используя эти формулы:
\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot N = \mu \cdot mg \cdot \cos(\alpha).\]

Итак, модуль силы \(F\) может быть найден как сумма модулей силы трения и силы тяжести:
\[F = \sqrt{F_{\text{тяж}}^2 + F_{\text{тр}}^2} = \sqrt{(mg)^2 + (\mu \cdot mg \cdot \cos(\alpha))^2}.\]

Наша задача состоит в том, чтобы найти минимальное значение модуля силы \(F\). Для этого мы можем продифференцировать \(F\) по углу \(\alpha\) и найти место, где производная равна нулю:
\[\frac{dF}{d\alpha} = 0.\]

Продифференцируем \(F\):
\[\frac{dF}{d\alpha} = \frac{d}{d\alpha} \sqrt{(mg)^2 + (\mu \cdot mg \cdot \cos(\alpha))^2}.\]

Чтобы упростить вычисления, вместо этого мы можем рассмотреть квадрат модуля силы \(F^2\):
\[F^2 = (mg)^2 + (\mu \cdot mg \cdot \cos(\alpha))^2.\]

Теперь продифференцируем \(F^2\):
\[\frac{d(F^2)}{d\alpha} = \frac{d}{d\alpha} [(mg)^2 + (\mu \cdot mg \cdot \cos(\alpha))^2].\]

Для упрощения расчетов разложим \(F^2\) в сумму:
\[\frac{d(F^2)}{d\alpha} = \frac{d}{d\alpha} [(mg)^2] + \frac{d}{d\alpha} [(\mu \cdot mg \cdot \cos(\alpha))^2].\]

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности. Первое слагаемое равно нулю, так как \(m\) и \(g\) являются константами. Рассмотрим второе слагаемое:
\[\frac{d}{d\alpha} [(\mu \cdot mg \cdot \cos(\alpha))^2].\]

Применим цепное правило:
\[\frac{d}{d\alpha} [(\mu \cdot mg \cdot \cos(\alpha))^2] = 2(\mu \cdot mg)^2 \cdot \cos(\alpha) \cdot (-\sin(\alpha)).\]

Упростим это выражение:
\[\frac{d}{d\alpha} [(\mu \cdot mg \cdot \cos(\alpha))^2] = -2(\mu \cdot mg)^2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha).\]

Теперь устанавливаем производную равной нулю и решаем уравнение:
\[-2(\mu \cdot mg)^2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha) = 0.\]

Это уравнение имеет два решения: \(\alpha = 0\) и \(\alpha = \frac{\pi}{2}\).

Однако, \(\alpha = 0\) соответствует горизонтальному положению, поэтому нам нужно выбрать значение \(\alpha\), которое не равно \(0\).

Таким образом, минимальное значение модуля силы \(F\) достигается при \(\alpha = \frac{\pi}{2}\) (90 градусов), когда сила направлена вертикально вверх.

Пожалуйста, обратите внимание, что этот ответ основан на предположении о движении кубика без учета вращения и других факторов. Он также предполагает идеальное равномерное движение и отсутствие других сил, действующих на кубик. В реальности могут быть дополнительные факторы, которые могут изменить результат.