Какой результат вы получите, если вы рассчитаете интеграл от синуса из (10x+π/3) в пределах от π/20 до π/10 и умножите

Хорошо, давайте посчитаем этот интеграл пошагово, чтобы ответ был понятен. Для начала, запишем заданный интеграл:

\[
\int_{\frac{\pi}{20}}^{\frac{\pi}{10}} \sin(10x + \frac{\pi}{3}) \, dx
\]

Перед тем, как начать решать этот интеграл, давайте вспомним некоторые свойства интегралов. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций. Также, интеграл от синуса функции \(f(x)\) по пределам от \(a\) до \(b\) равен отрицательной разности интегралов функции \(f(x)\) по пределам от \(b\) до \(a\):

\[
\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x)\, dx
\]

Давайте применим эти свойства к нашему интегралу. Перепишем его в следующем виде:

\[
-\int_{\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{20}} \sin(10x + \frac{\pi}{3}) \, dx
\]

Теперь раскроем аргумент синуса, чтобы упростить наше выражение:

\[
-\int_{\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{20}} \sin(10x)\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(10x)\sin(\frac{\pi}{3}) \, dx
\]

С помощью тригонометрических тождеств, выражение можно упростить:

\[
-\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{20}} \sin(10x)\, dx + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{20}} \cos(10x)\, dx
\]

Теперь, чтобы найти каждый интеграл по отдельности, давайте вспомним формулы интегрирования. Интеграл от синуса функции \(f(x)\) вычисляется как \(-\frac{1}{a}\cos(ax)\) плюс постоянная \(C\), а интеграл от косинуса функции \(f(x)\) равен \(\frac{1}{a}\sin(ax)\) плюс постоянная \(C\).

Таким образом, первый интеграл примет следующий вид:

\[
-\frac{\sqrt{3}}{2} \left[-\frac{1}{10}\cos(10x)\right]_{\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{20}} = \frac{\sqrt{3}}{20}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
\]

Обратите внимание, что значения косинуса в точках \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{4}\) равны нулю и \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответственно. Подставим эти значения и упростим выражение:

\[
\frac{\sqrt{3}}{20} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{40}
\]

Теперь найдем значение второго интеграла:

\[
\frac{1}{2}\left[\frac{1}{10}\sin(10x)\right]_{\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{20}} = \frac{1}{20}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
\]

Значение синуса в точках \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{4}\) равны единице и \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответственно, поэтому:

\[
\frac{1}{20} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{20} - \frac{\sqrt{2}}{4}
\]

Теперь умножим наше выражение на \(80(3\sqrt{2} + 1)\):

\[
\left(-\frac{\sqrt{6}}{40}\right) \cdot 80(3\sqrt{2} + 1) = -2\sqrt{6}(3\sqrt{2} + 1)
\]

Таким образом, результат данного выражения равен \(-2\sqrt{6}(3\sqrt{2} + 1)\).