Какой результат получится, если перемножить значения sin100 и sin40?

Для решения данной задачи, нам необходимо вспомнить основные свойства тригонометрических функций и использовать формулу произведения двух синусов.

Сначала найдем значения синусов для углов 100 и 40 градусов. Обратите внимание, что тригонометрические функции в большинстве программ и калькуляторов принимают углы в радианах, поэтому мы должны преобразовать градусы в радианы перед вычислениями.

Используем следующую формулу для преобразования градусов в радианы: \(\text{радианы} = \frac{\pi}{180} \times \text{градусы}\)

Для угла 100 градусов:
\(\text{радианы} = \frac{\pi}{180} \times 100 = \frac{5\pi}{9}\)
\(\sin(100^\circ) = \sin\left(\frac{5\pi}{9}\right)\)

Для угла 40 градусов:
\(\text{радианы} = \frac{\pi}{180} \times 40 = \frac{2\pi}{9}\)
\(\sin(40^\circ) = \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right)\)

Теперь, когда мы знаем значения синусов для данных углов, будем использовать формулу произведения синусов:

\(\sin(a) \times \sin(b) = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b) - \cos(a+b) \right]\)

Применим эту формулу, подставив найденные значения вместо \(a\) и \(b\):

\(\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right) \times \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{5\pi}{9} - \frac{2\pi}{9}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{9} + \frac{2\pi}{9}\right) \right]\)

Упростим аргументы косинусов:

Аргумент первого косинуса: \(\frac{5\pi}{9} - \frac{2\pi}{9} = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3}\)

Аргумент второго косинуса: \(\frac{5\pi}{9} + \frac{2\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}\)

Теперь, подставим эти значения обратно в формулу:

\(\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right) \times \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{7\pi}{9}\right) \right]\)

Для подсчета этих значений, мы должны знать точные значения косинусов. Давайте продолжим решение, используя эти точные значения.

Значение \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\) равно \(\frac{1}{2}\)
Значение \(\cos\left(\frac{7\pi}{9}\right)\) равно \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставим значения в формулу:

\(\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right) \times \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right]\)

Продолжим с упрощением:

\(\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right) \times \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right]\)

Складываем числа внутри квадратных скобок:

\(\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right) \times \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right) \times \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\)

Ответ:
Результат получится \(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\).