Какой радиус вписанной окружности в трапеции ABCD, где основание AD является большим и центр окружности - точка

Для начала, давайте разберемся с общей теорией вписанных окружностей. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон фигуры. Она имеет свойство быть вписанной в любую фигуру, если радиус окружности перпендикулярен стороне и имеет точку касания с фигурой на её диаметре.

Теперь к нашей трапеции ABCD. Для решения задачи, нам нужно определить радиус вписанной окружности.

Поскольку мы знаем, что основание AD является большим, предположим, что AD является большим основанием, а BC - меньшим основанием.

Пусть точка M - середина стороны AD, а точка N - середина стороны BC. Рисунок трапеции ABCD будет иметь следующий вид:

\[
\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & \overline{AB} \\
& & & & \backslash & & / \\
& & & & & \backslash & & / \\
& & & & & & \backslash & & / \\
\overline{CD} & & & \overline{MN} & & & \overline{MN} \\
\end{array}
\]

Теперь давайте разберемся, как связаны стороны трапеции с радиусом вписанной окружности. Мы знаем, что точка O - центр вписанной окружности, а радиус окружности (обозначим его как r) перпендикулярен стороне трапеции и имеет точку касания с фигурой на её диаметре.

\[
\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & \overline{AB} \\
& & & & \backslash & & / \\
& & & & & \backslash & & / \\
& & & & & & \backslash & & / \\
\overline{CD} & & & \overline{MN} & & & \overline{MN} & & & \\
& & & & & & & & \backslash & / \\
& & & & & & & \overline{r} & & & \\
\end{array}
\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник MNO. Он является прямоугольным, так как ребра MN и MO являются радиусами вписанной окружности и, следовательно, перпендикулярны стороне трапеции, к которой они касаются. Также, MN и MO делят стороны трапеции пополам, так как M и N - середины соответствующих сторон.

Таким образом, мы получаем следующую картину:

\[
\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & \overline{AB} \\
& & & & \backslash & & / \\
& & & & & \backslash & & / \\
& & & & & & \backslash & & / \\
\overline{CD} & & \overline{MN} & & & \overline{MN} & & \overline{O} \\
& & & \backslash & & / \\
& & & & \overline{r} \\
\end{array}
\]

Используя теорему Пифагора в треугольнике MNO, мы можем написать следующее:

\[
\overline{MN}^2 + \overline{MO}^2 = \overline{NO}^2
\]

Раскроем квадраты:

\[
\left(\frac{\overline{CD}}{2}\right)^2 + r^2 = \left(\frac{\overline{MN}}{2}\right)^2
\]

Подставим известные значения:

\[
\left(\frac{9}{2}\right)^2 + r^2 = \left(\frac{\overline{MN}}{2}\right)^2
\]

Выразим \(\overline{MN}\):

\[
\left(\frac{\overline{MN}}{2}\right)^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 + r^2
\]

\[
\frac{\overline{MN}}{2} = \sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2 + r^2}
\]

Таким образом, радиус вписанной окружности \(r\) в трапеции ABCD равен половине отрезка \(\overline{MN}\), который можно выразить следующим образом:

\[
r = \frac{\overline{MN}}{2} = \frac{\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2 + r^2}}{2}
\]

Чтобы решить эту квадратную уравнение относительно \(r\), мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

\[
4r^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 + r^2
\]

\[
3r^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2
\]

\[
r^2 = \frac{\left(\frac{9}{2}\right)^2}{3}
\]

\[
r = \sqrt{\frac{\left(\frac{9}{2}\right)^2}{3}}
\]

Таким образом, радиус вписанной окружности в трапеции ABCD равен \(\sqrt{\frac{\left(\frac{9}{2}\right)^2}{3}}\).