Какой радиус описанной около этого треугольника окружности? Периметр треугольника с известными сторонами и углами

Чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, нам понадобится использовать связь между радиусом описанной окружности, длинами сторон треугольника и синусами углов.

Дано:
Периметр треугольника $P=9$ единиц
Углы прилежащие к известной стороне равны $\alpha ={25}^{\circ }$ и $\beta ={125}^{\circ }$

Решение:
1. Найдем длину известной стороны треугольника, используя периметр. Пусть стороны треугольника обозначаются как $a$, $b$ и $c$. Тогда $a+b+c=P=9$. Пусть известная сторона треугольника равна $a$, тогда $b+c=P-a=9-a$.

2. Разобьем треугольник на два прямоугольных треугольника, используя известные указанные углы:
- В первом треугольнике, имеющем углы $\alpha ={25}^{\circ }$ и угол ${90}^{\circ }$, противолежащая сторона (основание) будет равна $c$, а прилежащая (высота) будет равна $h_1=a\cdot \sin (\alpha )$.
- Во втором треугольнике, имеющем углы $\beta ={125}^{\circ }$ и угол ${90}^{\circ }$, противолежащая сторона (основание) будет равна $b$, а прилежащая (высота) будет равна $h_2=a\cdot \sin (\beta )$.

3. Обратим внимание, что радиус описанной окружности является высотой треугольника, проведенной из точки пересечения двух сторон (высоты) треугольника. Поэтому радиус описанной около треугольника окружности $R$, будет равен высоте самого большого из прямоугольных треугольников. И, так как $h_1$ и $h_2$ - это высоты, они не меньше радиуса $R$.

4. Нам нужно найти максимальное значение из $h_1$ и $h_2$, чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности. Найдем сначала $h_1$:
$h_1=a\cdot \sin (\alpha )=a\cdot \sin ({25}^{\circ })$

5. Теперь найдем $h_2$:
$h_2=a\cdot \sin (\beta )=a\cdot \sin ({125}^{\circ })$

6. Найдем максимальное значение из $h_1$ и $h_2$, чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности.

Ответ:
Радиус описанной около треугольника окружности будет равен максимальной высоте $h_1$ или $h_2$, которые были рассчитаны ранее. Таким образом, радиус описанной около треугольника окружности будет равен максимальному значению из $h_1$ и $h_2$.