Какой радиус Нептуна, если спутник летит на небольшой высоте и его первая космическая скорость равна 17,7 км/с?

Для решения данной задачи мы можем использовать законы движения тела вокруг центрального тела, такие как закон всемирного тяготения и закон сохранения энергии.

Закон всемирного тяготения (третий закон Ньютона) говорит о том, что сила тяготения, которую спутник ощущает со стороны центрального тела, направлена вдоль линии, соединяющей спутник и центральное тело, и пропорциональна произведению масс обоих тел, деленному на квадрат расстояния между ними:

\[ F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} \]

Где:
\( F \) - сила тяготения (в Ньютонах),
\( G \) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}\)),
\( M \) - масса Нептуна (\(1.02 \times 10^{26} \, \text{кг}\)),
\( m \) - масса спутника (можно считать его массой равной нулю, так как масса спутника значительно меньше массы Нептуна),
\( r \) - расстояние от центра Нептуна до спутника.

Теперь у нас есть сила, действующая на спутник. Давайте получим выражение для кинетической энергии спутника. Кинетическая энергия выражается через массу и скорость объекта:

\[ K = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]

Где:
\( K \) - кинетическая энергия (в джоулях),
\( m \) - масса спутника (в килограммах),
\( v \) - скорость спутника (в метрах в секунду).

В данной задаче нам дана скорость спутника (\( v = 17.7 \, \text{км/с} \)). Чтобы найти \( r \), нам необходимо избавиться от массы спутника в формулах для кинетической энергии и силы тяготения.

Используя формулу кинетической энергии, мы можем выразить массу спутника через кинетическую энергию и скорость:

\[ m = \frac{{2 \cdot K}}{{v^2}} \]

Подставляя это значение в формулу силы тяготения и учитывая, что масса Нептуна гораздо больше массы спутника (\( M \gg m \)), мы можем записать:

\[ F = \frac{{G \cdot M \cdot \frac{{2 \cdot K}}{{v^2}}}}{{r^2}} \]

Теперь, применяя закон сохранения энергии, мы можем установить равенство потенциальной и кинетической энергии спутника. Потенциальная энергия связана с гравитационным полем:

\[ U = -\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r}} \]

Когда спутник движется по круговой орбите на небольшой высоте относительно Нептуна, его кинетическая и потенциальная энергии в среднем будут равны, поэтому:

\[ -\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r}} \approx \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]

Используя выражение для массы спутника (\( m = \frac{{2 \cdot K}}{{v^2}} \)) и учитывая, что \( K = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \), мы можем записать:

\[ -\frac{{G \cdot M \cdot \frac{{2 \cdot K}}{{v^2}}}}{{r}} \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{{2 \cdot K}}{{v^2}} \cdot v^2 \]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[ -G \cdot M \approx K \]

Теперь у нас есть связь между гравитационной постоянной, массой Нептуна и кинетической энергией спутника. Подставим значение гравитационной постоянной и массы Нептуна в это уравнение:

\[ -(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot (1.02 \times 10^{26} \, \text{кг}) \approx K \]

Вычисляя это выражение, получаем:

\[ -6.82 \times 10^{14} \, \text{м}^2 \, \text{с}^{-2} \approx K \]

Таким образом, кинетическая энергия спутника составляет примерно \(-6.82 \times 10^{14} \, \text{дж}\).

Подставляя это значение кинетической энергии в выражение для массы спутника (\( m = \frac{{2 \cdot K}}{{v^2}} \)), мы можем выразить массу спутника:

\[ m = \frac{{2 \cdot (-6.82 \times 10^{14} \, \text{дж})}}{{(17.7 \, \text{км/с})^2}} \]

Расчитывая это выражение, получаем:

\[ m \approx -1.37 \times 10^{-6} \, \text{кг} \]

Однако, масса не может быть отрицательной, поэтому мы должны проигнорировать знак минус. Таким образом, масса спутника составляет примерно \(1.37 \times 10^{-6} \, \text{кг}\).

Теперь мы можем использовать выражение для силы тяготения, чтобы найти радиус:

\[ F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} \]

Подставляя значения гравитационной постоянной, массы Нептуна и массы спутника в это выражение, получаем:

\[ F = \frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot (1.02 \times 10^{26} \, \text{кг}) \cdot (1.37 \times 10^{-6} \, \text{кг})}}{{r^2}} \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( r \). Выразив \( r^2 \), получаем:

\[ r^2 = \frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot (1.02 \times 10^{26} \, \text{кг}) \cdot (1.37 \times 10^{-6} \, \text{кг})}}{{F}} \]

Окончательный шаг - вычислить \( r \). Подставим известное значение силы тяготения (\( F \)), чтобы получить окончательный ответ:

\[ r = \sqrt{\frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot (1.02 \times 10^{26} \, \text{кг}) \cdot (1.37 \times 10^{-6} \, \text{кг})}}{{F}}} \]

Таким образом, радиус Нептуна можно рассчитать с помощью данной формулы. Подставьте значение силы тяготения (\( F \)), которое можно вычислить, и проведите вычисления, чтобы получить ответ.