Какой путь пройдет груз, закрепленный на пружине, за одну минуту, если его координаты зависят от времени

Для того чтобы определить путь, пройденный грузом, закрепленным на пружине, за одну минуту, мы можем использовать данную функцию координаты от времени: \(x = 0.4\sin(4\pi t)\), где \(t\) - время в минутах.

Для вычисления пути, пройденного грузом за одну минуту, нам понадобится проинтегрировать функцию скорости по времени. Скорость - это производная координаты по времени, поэтому сначала найдем скорость:

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d(0.4\sin(4\pi t))}}{{dt}}\]

Чтобы производная более удобно выглядела, воспользуемся формулой производной синуса:

\[\frac{{dx}}{{dt}} = 0.4 \cdot \frac{{d\sin(4\pi t)}}{{dt}}\]

Теперь возьмем производную внутренней функции \(\sin(4\pi t)\) в отдельности:

\[\frac{{d\sin(4\pi t)}}{{dt}} = \cos(4\pi t) \cdot \frac{{d(4\pi t)}}{{dt}}\]

Мы знаем, что производная линейной функции \(f(t) = k \cdot t\) равна \(k\), где \(k\) - это коэффициент при \(t\). В нашем случае \(k = 4\pi\), поэтому:

\[\frac{{d(4\pi t)}}{{dt}} = 4\pi\]

Теперь вернемся к формуле для производной \(\frac{{dx}}{{dt}}\):

\[\frac{{dx}}{{dt}} = 0.4 \cdot \cos(4\pi t) \cdot 4\pi\]

Теперь у нас есть функция скорости. Для вычисления пути, пройденного грузом за одну минуту, нам нужно проинтегрировать эту функцию скорости от \(t = 0\) до \(t = 1\):

\[s = \int_{0}^{1} 0.4 \cdot \cos(4\pi t) \cdot 4\pi dt\]

Вычислим этот интеграл:

\[s = \left[0.4 \cdot \sin(4\pi t) \right]_{0}^{1} = 0.4 \cdot \sin(4\pi \cdot 1) - 0.4 \cdot \sin(4\pi \cdot 0)\]

Так как \(\sin(4\pi) = \sin(0) = 0\), у нас остается:

\[s = 0.4 \cdot 0 - 0.4 \cdot 0 = 0\]

Таким образом, путь пройденного груза за одну минуту равен нулю. Это означает, что груз движется туда и обратно, возвращаясь в исходное положение за минуту.

Чертеж для данной задачи не требуется, так как мы уже получили ответ, что путь равен нулю.