Какой остаток даёт задуманное натуральное число, если Игорь разделил его на 4, затем на 6, и затем на 8, получив

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим каждый шаг деления по очереди. Игорь разделил задуманное натуральное число на 4, получив некоторый остаток. Затем он разделил полученный остаток на 6 и опять получил новый остаток. И, наконец, оставшийся остаток был разделен на 8.

Давайте для начала представим, что задуманное число обозначено буквой \(x\). Известно, что при делении на 4 остаток равен \(a\), при делении на 6 остаток равен \(b\), и при делении на 8 остаток равен \(c\). Мы также знаем, что сумма всех остатков равна 21.

Теперь рассмотрим каждый шаг деления по отдельности.

Шаг 1: Разделение на 4
Когда мы делим задуманное число \(x\) на 4, получаем остаток \(a\). Это можно записать следующим образом:
\[x \equiv a \mod 4\]
где \(\equiv\) означает "сравнимо с" и \(\mod\) означает "по модулю".

Шаг 2: Разделение на 6
Затем, когда мы делим полученный остаток \(a\) на 6, получаем новый остаток \(b\):
\[a \equiv b \mod 6\]

Шаг 3: Разделение на 8
Наконец, когда мы делим остаток \(b\) на 8, получаем последний остаток \(c\):
\[b \equiv c \mod 8\]

Теперь у нас есть система трех сравнений, связанных друг с другом, и нам нужно найти значение \(x\) и остатки \(a\), \(b\), \(c\). Мы также знаем, что сумма всех остатков равна 21:
\[a + b + c = 21\]

Для решения этой системы уравнений мы могли бы использовать китайскую теорему об остатках. Однако, давайте воспользуемся более простым подходом и протестируем возможные значения остатков, чтобы найти правильный ответ.

Мы знаем, что остаток от деления на 4 всегда будет меньше 4. Из этого следует, что \(a\) может быть одним из следующих значений: 0, 1, 2 или 3.

Далее, при делении остатка \(a\) на 6, мы получаем остаток \(b\). Обратите внимание, что остаток \(b\) всегда будет меньше 6. Таким образом, возможные значения \(b\) могут быть: 0, 1, 2, 3, 4 или 5.

Наконец, деление остатка \(b\) на 8 дает остаток \(c\). Остаток \(c\) всегда будет меньше 8. Таким образом, возможные значения \(c\) могут быть: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

Теперь, чтобы найти числа \(x\), \(a\), \(b\) и \(c\), которые удовлетворяют всем ограничениям, мы должны перебрать все возможные комбинации этих остатков и найти те, которые образуют сумму, равную 21. Давайте рассмотрим все возможные случаи:

1) Если \(a = 0\), тогда \(b\) может быть равно 1, 2, 3, 4, 5 или 6. В этом случае, \(c\) может быть равно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8 (остаток от 0 до 7 плюс 1). Однако сумма \(a + b + c\) в таком случае будет всегда больше 21.

2) Если \(a = 1\), тогда \(b\) может быть равно 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. В этом случае, \(c\) может быть равно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8. Возможная комбинация значений будет, например: \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 20\). Проверим сумму: \(1 + 0 + 20 = 21\).

3) Если \(a = 2\), то \(b\) может быть равно 0, 1, 2, 3 или 4. В этом случае, \(c\) может быть равно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8. Однако, ни одна из возможных комбинаций не дает нам сумму 21.

4) Если \(a = 3\), то \(b\) может быть равно 0, 1 или 2. В этом случае, \(c\) может быть равно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8. Ни одна из возможных комбинаций не дает нам сумму 21.

Итак, единственная возможная комбинация, которая дает сумму 21, это \(a = 1\), \(b = 0\) и \(c = 20\).

Следовательно, задуманное натуральное число \(x\) равно 20.

Ответ: Задуманное натуральное число, если Игорь разделил его на 4, затем на 6, и затем на 8 и получил остатки 1, 0 и 20 соответственно, равно 20.