Какой остаток дает исходное число, если Сергей разделил его сначала на 6, затем на 7 и в конце на 8, и в каждом случае

Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы ответ был понятен школьнику.

Пусть исходное число, которое мы обозначим как \(x\), даёт один и тот же остаток при делении на 6, 7 и 8. Давайте обозначим этот остаток как \(r\).

Из этого следует, что \(x\) можно выразить в виде:

\[ x = 6a + r \] (1),
\[ x = 7b + r \] (2),
\[ x = 8c + r \] (3),

где \(a, b, c\) - целые числа, полученные при делении числа \(x\) на 6, 7 и 8 соответственно.

Мы знаем, что сумма остатков составляет:

\[ r + r + r = 3r \].

Но сумма остатков равна исходному числу после деления на 6, 7 и 8. Поэтому:

\[ 3r = x \] (4).

Теперь у нас есть система уравнений (1), (2), (3) и (4), которую мы можем решить, чтобы найти значение остатка \(r\).

Давайте попробуем решить задачу методом подстановки. Для этого заменим \(x\) в уравнениях (1), (2) и (3) с помощью \(3r\) из уравнения (4). Получим:

\[ 6a + r = 3r \],
\[ 7b + r = 3r \],
\[ 8c + r = 3r \].

Теперь вычтем \(r\) из всех уравнений:

\[ 6a = 2r \] (5),
\[ 7b = 2r \] (6),
\[ 8c = 2r \] (7).

Теперь мы выразили остаток \(r\) через \(a\), \(b\) и \(c\) в каждом уравнении.

Заметим, что так как \(r\) делится на 2 (т.е. \(2r\) - четное число), то и \(a\), и \(b\), и \(c\) также должны быть четными числами. В противном случае нельзя получить один и тот же остаток при делении на 6, 7 и 8.

Теперь посмотрим на возможные значения четных чисел \(a\), \(b\) и \(c\), чтобы найти значения \(r\).

Минимальное четное значение для \(a\) равно 0, тогда остаток \(r\) будет 0. Подставим это в уравнения (5), (6) и (7):

\[ 0 = 2 \cdot 0 \],
\[ 7b = 2 \cdot 0 \],
\[ 8c = 2 \cdot 0 \].

Видим, что получается правда, т.е. \(r = 0\) является одним из возможных значений остатка.

Заметим также, что мы можем выбрать любое положительное четное число для \(a\), \(b\) и \(c\), и остаток \(r\) будет равен этому числу/числам. Например, если \(a = 2\), то \(r = 2\) и так далее.

Итак, ответ на задачу:

Остаток, который дает исходное число при делении на 6, 7 и 8, может быть любым четным числом, включая 0.