Какой объем воды нужно добавить в трубопровод диаметром 250 мм и длиной 1 км, чтобы увеличить давление в нём до 70 атм?

Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон Бернулли, который описывает связь между давлением, скоростью и высотой жидкости в трубе.

Закон Бернулли гласит, что сумма давления \(P\), кинетической энергии \(K\) и потенциальной энергии \(U\) на каждой точке течения жидкости в трубе постоянна:

\[P + K + U = \text{const}\]

Учитывая, что мы хотим увеличить только давление, высоту \(h\) и скорость \(v\) жидкости, можно считать постоянными.

Сначала посмотрим на ситуацию до добавления воды. У нас есть заданное давление \(P_1\), диаметр трубопровода \(D\) и длина трубопровода \(L\). Давление в этой части трубопровода равно \(P_1\) по всей его длине.

После добавления воды мы хотим достичь давления \(P_2\), которое равно 70 атм.

Чтобы найти объем воды, который нужно добавить, мы можем использовать формулу для объема цилиндра:

\[V = S \cdot L\]

где \(S\) - площадь основания цилиндра, \(L\) - высота цилиндра.

Площадь основания цилиндра \(S\) может быть найдена через площадь круга:

\[S = \frac{{\pi D^2}}{4}\]

где \(\pi \approx 3.14159\) - число пи, \(D\) - диаметр трубопровода.

Высота цилиндра \(L\) будет равна длине трубопровода до момента, когда давление достигнет значения \(P_2\).

Теперь, когда мы знаем все эти формулы и находимся в промежуточной точке задачи, можно приступить к вычислениям.

Давление \(P_1\) известно и равно нулю, так как мы начинаем с пустого трубопровода. Давление \(P_2\) задано и равно 70 атм.

Подставим в формулу закона Бернулли значения:

\[P_1 + K + U = P_2 + K + U\]

Так как у нас необходимо проигнорировать деформацию стенок трубопровода, мы можем считать потенциальную энергию постоянной и исключить ее из уравнения:

\[P_1 + K = P_2 + K\]

\[P_1 = P_2\]

Перепишем это уравнение, чтобы найти скорость после добавления воды:

\[K_1 = K_2\]

\[\frac{1}{2} \rho v_1^2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2\]

где \(\rho\) - плотность воды, \(v_1\) - скорость до добавления воды, \(v_2\) - скорость после добавления воды.

Так как мы хотим увеличить давление, мы можем сказать, что скорость после добавления воды \(v_2\) будет меньше скорости до добавления воды \(v_1\).

Теперь мы можем написать уравнение, связывающее давление, скорость и площадь:

\[P_1 = P_2\]

\[\frac{1}{2} \rho v_1^2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2\]

\[\frac{{P_1}}{{\rho}} = \frac{{P_2}}{{\rho}}\]

\[v_1^2 = v_2^2\]

\[v_1 = -v_2\]

Получается, что скорость до добавления воды равна скорости после добавления воды с противоположным знаком.

Теперь мы можем найти соответствующие значения скорости \(v_1\) и \(v_2\). Скорость до добавления воды \(v_1\) равна \(0\), так как у нас нет движения воздуха в трубопроводе:

\[v_1 = 0\]

\[v_2 = -v_1\]

\[v_2 = -0\]

\[v_2 = 0\]

Теперь, когда мы знаем скорость после добавления воды \(v_2\), мы можем найти площадь основания цилиндра \(S\) и объем воды \(V\), которую нужно добавить:

\[S = \frac{{\pi D^2}}{4}\]

\[V = S \cdot L\]

\[V = \frac{{\pi D^2}}{4} \cdot L\]

Подставим значения используемых переменных:

\[D = 250\, \text{мм} = 0.25\, \text{м}\]

\[L = 1\, \text{км} = 1000\, \text{м}\]

\[\pi \approx 3.14159\]

Теперь вычислим площадь основания цилиндра \(S\):

\[S = \frac{{\pi \cdot (0.25)^2}}{4}\]

\[S \approx 0.049087\, \text{м}^2\]

Теперь остается только вычислить объем воды \(V\):

\[V = \frac{{\pi \cdot (0.25)^2}}{4} \cdot 1000\]

\[V \approx 12.2718\, \text{м}^3\]

Итак, для того чтобы увеличить давление в трубопроводе диаметром 250 мм и длиной 1 км до 70 атм, необходимо добавить примерно 12.2718 м³ воды.