Какой объем тела образуется в результате вращения прямоугольника вокруг его меньшей стороны, если его диагонали равны

Для решения данной задачи, нам необходимо определить форму тела, образованного вращением прямоугольника вокруг его меньшей стороны.

Предположим, что у прямоугольника одна сторона равна a, а другая сторона равна b. Диагонали прямоугольника обозначим как d₁ и d₂.

Известно, что диагонали прямоугольника равны m и острый угол между ними равен φ.

Для нахождения объема тела, образованного вращением прямоугольника, мы можем использовать формулу объема вращения фигуры вокруг оси, которая имеет вид:

\[V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx\]

где y - расстояние от плоскости прямоугольника до оси вращения, которое может быть выражено через x и известные параметры прямоугольника.

Чтобы найти y, обратимся к геометрии. Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Значит, мы можем разделить прямоугольник на два равнобедренных треугольника, где каждый имеет катеты a/2 и b/2, и гипотенузу d/2 (половину диагонали). Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

\[\frac{{a/2}}{{d/2}} = \cos(\phi/2)\]
\[\frac{{b/2}}{{d/2}} = \sin(\phi/2)\]

Решая данную систему уравнений, мы можем выразить катеты треугольников через угол φ и диагональ d.

Дальше, чтобы найти y в зависимости от x, мы можем провести следующие соотношения:

\(y = a - 2 \cdot \frac{{a}}{{d}} \cdot x\) для \(0 \leq x \leq \frac{{a}}{{2}}\)
\(y = b - 2 \cdot \frac{{b}}{{d}} \cdot x\) для \(\frac{{a}}{{2}} \leq x \leq a\)

С учетом этой информации, мы можем записать объем тела, используя ранее полученные выражения для y:

\[V = \pi \int_{0}^{a/2} (a - 2 \cdot \frac{{a}}{{d}} \cdot x)^2 \, dx + \pi \int_{a/2}^{a} (b - 2 \cdot \frac{{b}}{{d}} \cdot x)^2 \, dx\]

Теперь можно приступить к вычислениям. После выполнения интегрирования и упрощений, мы получим окончательное выражение для объема тела. Но раз у нас нет конкретных числовых значений для параметров прямоугольника, то ответ будет представлен в более общей форме.

Ответ: Объем тела, образованного вращением прямоугольника вокруг его меньшей стороны, равен \(\frac{{\pi}}{{6}} \cdot a^2 \cdot (\frac{{(a^2 - b^2) \cdot \tan^2(\phi) + 2 \cdot a^2}}{{d^2}})\)