Какой объем покупок будет оптимальным для потребителя, если его функция полезности задана уравнением u = 2xy, где x

Чтобы найти оптимальный объем покупок для потребителя, мы можем использовать предельную полезность и предельные стоимости товаров.

Предельная полезность - это изменение полезности от единичного изменения количества товара. В данном случае, чтобы найти предельную полезность товара x, мы нужно дифференцировать функцию полезности по x, и аналогично для товара y. Давайте найдем предельную полезность для каждого товара:

\[\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2y\]
\[\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 2x\]

Предполагая, что потребитель максимизирует свою полезность при заданном бюджете, он будет приобретать товары до тех пор, пока последний доллар, потраченный на каждый товар, не приносит равную предельную полезность. То есть, чтобы найти оптимальные объемы x и y, мы можем сравнить отношение предельных полезностей к ценам товаров:

\[\frac{{\frac{{\partial u}}{{\partial x}}}}{{\text{{цена товара x}}}} = \frac{{2y}}{{20}} = \frac{{y}}{{10}}\]
\[\frac{{\frac{{\partial u}}{{\partial y}}}}{{\text{{цена товара y}}}} = \frac{{2x}}{{5}} = \frac{{x}}{{2.5}}\]

То есть, оптимальный объем покупок будет достигаться в тот момент, когда отношение предельной полезности к цене одного товара станет равным отношению предельной полезности к цене другого товара.

Давайте решим это уравнение:

\[\frac{{y}}{{10}} = \frac{{x}}{{2.5}}\]

Чтобы найти значения x и y, подходящие под это уравнение, возьмем формулу для бюджета и перепишем ее в терминах одной переменной:

\[20x + 5y = 50\]

Теперь можно решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения. Я воспользуюсь методом подстановки. Решим первое уравнение относительно y:

\[y = \frac{{x \cdot 2.5}}{{10}} = \frac{{x}}{{4}}\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[20x + 5 \cdot \frac{{x}}{{4}} = 50\]

Упростим уравнение:

\[20x + \frac{{5}}{{4}}x = 50\]
\[80x + 5x = 200\]
\[85x = 200\]
\[x \approx 2.35\]

Теперь найдем значение y, подставив найденное значение x в уравнение для y:

\[y = \frac{{2.35}}{{4}} \approx 0.59\]

Итак, оптимальный объем покупок, чтобы максимизировать полезность при таком бюджете и ценах на товары, составляет примерно 2.35 единиц товара x и 0.59 единиц товара y.