Какой набор кофе и пирожных является оптимальным, если потребитель имеет 700 денежных единиц и функция общей полезности

Чтобы найти оптимальный набор кофе и пирожных, мы должны максимизировать общую полезность с учетом бюджетных ограничений. Давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

1. Составим функцию полезности: $tu=2xy$, где $x$ - количество чашек кофе, а $y$ - количество пирожных.

2. Зададим бюджетное ограничение: у нас есть 700 денежных единиц. Это означает, что стоимость всех покупок должна быть не больше 700 денежных единиц.

3. Определим цены товаров: $px=100$ - цена одной чашки кофе, $py=150$ - цена одного пирожного.

4. Определим количество чашек кофе и пирожных, которые можно купить в заданных рамках бюджета. Пусть $x"$ будет количество чашек кофе, а $y"$ - количество пирожных. Тогда сумма покупок будет равна: $px\cdot x"+py\cdot y"$.

5. Учитывая бюджетное ограничение, получаем следующее неравенство: $px\cdot x"+py\cdot y"\le 700$.

6. Теперь наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности $tu=2xy$, при условии, что сумма покупок не превышает 700 денежных единиц.

7. Для решения этой задачи применим метод Лагранжа.

Метод Лагранжа состоит в поиске экстремума функции с ограничениями. В данном случае наша функция - $tu=2xy$, а ограничение - $px\cdot x"+py\cdot y"-700=0$.

8. Выразим одну переменную через другую с помощью ограничения. Из ограничения получаем: $y"=\frac{700-px\cdot x"}{py}$.

9. Подставим это выражение в функцию полезности, получим $tu=2x\cdot \frac{700-px\cdot x"}{py}$.

10. Теперь найдем производную функции полезности по переменной $x$:

$$\frac{d(tu)}{dx}=2\frac{700-px\cdot x"}{py}-2\cdot \frac{px\cdot x"}{py}=\frac{2}{py}(700-2px\cdot x")$$

11. Уравняем производную нулю, чтобы найти экстремум функции:

$$\frac{2}{py}(700-2px\cdot x")=0$$

12. Решим это уравнение относительно $x"$:

$$700-2px\cdot x"=0$$

$$2px\cdot x"=700$$

$$x"=\frac{700}{2px}$$

13. Теперь найдем значение $y"$ через полученное значение $x"$. Подставим $x"$ в ограничение:

$$y"=\frac{700-px\cdot x"}{py}=\frac{700-px\cdot \left(\frac{700}{2px}\right)}{py}$$

14. Упростим это выражение:

$$y"=\frac{700-350}{py}=\frac{350}{py}$$

15. Теперь найдем значения $x$ и $y$ (количество чашек кофе и пирожных) через $x"$ и $y"$, используя оригинальное ограничение:

$$x=x"\cdot px=\frac{700}{2px}\cdot px=\frac{700}{2}=350$$

$$y=y"\cdot py=\frac{350}{py}\cdot py=350$$

16. Получаем, что оптимальный набор кофе и пирожных будет, когда куплено 350 чашек кофе и 350 пирожных для максимизации общей полезности.

Это и есть ответ на задачу. Оптимальный набор кофе и пирожных, при условии что потребитель имеет 700 денежных единиц, будет состоять из 350 чашек кофе и 350 пирожных.