Какой набор кофе и пирожных является оптимальным, если потребитель имеет 700 денежных единиц и функция общей полезности

Чтобы найти оптимальный набор кофе и пирожных, мы должны максимизировать общую полезность с учетом бюджетных ограничений. Давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

1. Составим функцию полезности: \(tu = 2xy\), где \(x\) - количество чашек кофе, а \(y\) - количество пирожных.

2. Зададим бюджетное ограничение: у нас есть 700 денежных единиц. Это означает, что стоимость всех покупок должна быть не больше 700 денежных единиц.

3. Определим цены товаров: \(px = 100\) - цена одной чашки кофе, \(py = 150\) - цена одного пирожного.

4. Определим количество чашек кофе и пирожных, которые можно купить в заданных рамках бюджета. Пусть \(x"\) будет количество чашек кофе, а \(y"\) - количество пирожных. Тогда сумма покупок будет равна: \(px \cdot x" + py \cdot y"\).

5. Учитывая бюджетное ограничение, получаем следующее неравенство: \(px \cdot x" + py \cdot y" \leq 700\).

6. Теперь наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности \(tu = 2xy\), при условии, что сумма покупок не превышает 700 денежных единиц.

7. Для решения этой задачи применим метод Лагранжа.

Метод Лагранжа состоит в поиске экстремума функции с ограничениями. В данном случае наша функция - \(tu = 2xy\), а ограничение - \(px \cdot x" + py \cdot y" - 700 = 0\).

8. Выразим одну переменную через другую с помощью ограничения. Из ограничения получаем: \(y" = \frac{700 - px \cdot x"}{py}\).

9. Подставим это выражение в функцию полезности, получим \(tu = 2x \cdot \frac{700 - px \cdot x"}{py}\).

10. Теперь найдем производную функции полезности по переменной \(x\):

\[
\frac{d(tu)}{dx} = 2 \frac{700 - px \cdot x"}{py} - 2 \cdot \frac{px \cdot x"}{py} = \frac{2}{py}(700 - 2px \cdot x")
\]

11. Уравняем производную нулю, чтобы найти экстремум функции:

\[
\frac{2}{py}(700 - 2px \cdot x") = 0
\]

12. Решим это уравнение относительно \(x"\):

\[
700 - 2px \cdot x" = 0
\]

\[
2px \cdot x" = 700
\]

\[
x" = \frac{700}{2px}
\]

13. Теперь найдем значение \(y"\) через полученное значение \(x"\). Подставим \(x"\) в ограничение:

\[
y" = \frac{700 - px \cdot x"}{py} = \frac{700 - px \cdot \left(\frac{700}{2px}\right)}{py}
\]

14. Упростим это выражение:

\[
y" = \frac{700 - 350}{py} = \frac{350}{py}
\]

15. Теперь найдем значения \(x\) и \(y\) (количество чашек кофе и пирожных) через \(x"\) и \(y"\), используя оригинальное ограничение:

\[
x = x" \cdot px = \frac{700}{2px} \cdot px = \frac{700}{2} = 350
\]

\[
y = y" \cdot py = \frac{350}{py} \cdot py = 350
\]

16. Получаем, что оптимальный набор кофе и пирожных будет, когда куплено 350 чашек кофе и 350 пирожных для максимизации общей полезности.

Это и есть ответ на задачу. Оптимальный набор кофе и пирожных, при условии что потребитель имеет 700 денежных единиц, будет состоять из 350 чашек кофе и 350 пирожных.