Какой модуль минимальной скорости нужно придать первой шайбе, чтобы она вернулась в первоначальное положение после

Данная задача может быть решена с использованием закона сохранения импульса и закона сохранения энергии.

Первоначально, определим условия задачи:
Масса первой шайбы, \(m_1\), равна 30 г (0.03 кг).
Масса второй шайбы, \(m_2\), равна 90 г (0.09 кг).
Расстояние между шайбами, \(d\), составляет 36 см (0.36 м).
Коэффициент трения скольжения между каждой шайбой и столом, \(k = 0.25\).

Для решения задачи, начнем с применения закона сохранения импульса перед и после столкновения:
\[m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = m_1v_{1f} + m_2v_{2f}\],
где \(v_{1i}\) и \(v_{2i}\) - начальные скорости первой и второй шайбы соответственно, \(v_{1f}\) и \(v_{2f}\) - конечные скорости первой и второй шайбы соответственно.

После столкновения, первая шайба вернется в свое первоначальное положение, поэтому ее конечная скорость равна 0. Таким образом, уравнение принимает следующий вид:
\[m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = m_2v_{2f}\].

Далее, используем закон сохранения энергии. По условию задачи, столкновение является центральным абсолютно упругим, следовательно, кинетическая энергия системы сохраняется.
Таким образом, уравнение сохранения энергии выглядит следующим образом:
\[\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2f}^2\].

Теперь мы можем решить систему из двух уравнений для определения значения \(v_{1i}\).

Раскроем скобки в уравнении сохранения энергии и учитывая, что \(v_{1f} = 0\):
\[\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_2v_{2f}^2\].

Подставим \(v_{2f}\) из уравнения сохранения импульса:
\[\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_2\left(\frac{m_1v_{1i} + m_2v_{2i}}{m_1}\right)^2\].

Далее продолжим решение работы без пояснений, так как оно будет содержать только математические расчеты.

Раскроем скобки и получим:
\[m_1v_{1i}^2 = m_2(m_1v_{1i} + m_2v_{2i})^2\].

Разделим обе части уравнения на \(m_1\) и упростим:
\[v_{1i}^2 = m_2(m_1v_{1i} + m_2v_{2i})^2\].

Разложим оба слагаемых и перенесем всё в левую часть:
\[0 = m_1^2v_{1i}^2 + 2m_1m_2v_{1i}v_{2i} + m_2^2v_{2i}^2 - v_{1i}^2m_2(m_1 + m_2)\].

Упростим полученное уравнение:
\[0 = m_1^2v_{1i}^2 + 2m_1m_2v_{1i}v_{2i} + m_2^2v_{2i}^2 - m_2v_{1i}^2(m_1 + m_2)\].

Перенесем все слагаемые в правую часть и упростим, получим квадратное уравнение:
\[0 = (m_1m_2 + m_2^2 - m_1m_2)v_{1i}^2 + 2m_1m_2v_{1i}v_{2i} - m_2^2v_{2i}^2\].

\[(m_2 - m_1m_2)v_{1i}^2 + 2m_1m_2v_{1i}v_{2i} - m_2^2v_{2i}^2 = 0\].

Воспользуемся формулой дискриминанта для квадратного уравнения:
\[\Delta = (2m_1m_2v_{2i})^2 - 4(m_2 - m_1m_2)(- m_2^2v_{2i}^2)\].

\[\Delta = 4m_1^2m_2^2v_{2i}^2 + 4(m_2 - m_1m_2)m_2^2v_{2i}^2\].

\[\Delta = 4m_2^2(m_1^2 + (m_2 - m_1m_2))v_{2i}^2\].

\[\Delta = 4m_2^2(m_1^2 + m_2 - m_1m_2)v_{2i}^2\].

Далее продолжим решение работы без пояснений.

Подставим выражение для \(\Delta\) в формулу для \(v_{1i}\):
\[v_{1i} = \frac{-2m_1m_2v_{2i} \pm \sqrt{4m_2^2(m_1^2 + m_2 - m_1m_2)v_{2i}^2}}{2(m_2 - m_1m_2)}\].

Упростим и приведем подобные слагаемые:
\[v_{1i} = \frac{-m_1m_2v_{2i} \pm m_2v_{2i}\sqrt{m_1^2 + m_2 - m_1m_2}}{(m_2 - m_1m_2)}\].

Теперь подставим изначальные значения:

\[v_{1i} = \frac{-(0.03\cdot 0.09)\cdot v_{2i} \pm (0.09)\cdot v_{2i}\sqrt{(0.03)^2 + 0.09 - (0.03)(0.09)}}{((0.09) - (0.03)(0.09))}\].

\[v_{1i} = \frac{-0.0027v_{2i} \pm 0.09v_{2i}\sqrt{0.0081 + 0.09 - 0.0027}}{0.081}\].

Теперь, чтобы найти модуль минимальной скорости, нужно найти минимальное значение \(v_{1i}\). Чтобы найти такое значение, нужно взять плюс перед корнем, так как наше выражение для \(v_{1i}\) включает в себя квадратный корень.

\[v_{1i} = \frac{-0.0027v_{2i} + 0.09v_{2i}\sqrt{0.0081 + 0.09 - 0.0027}}{0.081}\].

Итак, чтобы первая шайба вернулась в первоначальное положение после столкновения со второй шайбой, минимальная модуль скорости, которую нужно придать первой шайбе, составляет \(\frac{-0.0027v_{2i} + 0.09v_{2i}\sqrt{0.0081 + 0.09 - 0.0027}}{0.081}\).