Какой коэффициент жесткости пружины необходим, чтобы период гармонических колебаний увеличился в два раза для груза

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать закон Гука для гармонических колебаний пружин. Закон Гука гласит, что сила \( F \), действующая на пружину, пропорциональна её удлинению \( x \). Формула для закона Гука выглядит следующим образом:

\[ F = -kx \]

где \( k \) - коэффициент жесткости пружины, а \( x \) - удлинение пружины.

Для изменения периода колебаний пружины нам нужно увеличить удлинение пружины в два раза. Пусть изначальное удлинение равно \( x_0 \), а удлинение после изменения составляет \( 2x_0 \).

Мы знаем, что период \( T \) колебаний пружины зависит от её жесткости \( k \) и массы \( m \), и задается формулой:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

где \( \pi \) - число Пи, \( m \) - масса груза, подвешенного на пружине.

Для нахождения коэффициента жесткости \( k \) в новых условиях, когда период колебаний увеличивается в два раза, мы можем использовать следующую последовательность шагов:

1. Найдем период колебаний \( T_0 \) для исходной пружины (жесткостью 200 Н/м) и груза массой \( m \). Воспользуемся формулой:

\[ T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_0}} \]

где \( k_0 = 200 \) Н/м - изначальный коэффициент жесткости пружины.

2. Найдем период колебаний \( T_1 \) для новой пружины (с искомым коэффициентом жесткости \( k_1 \)) и той же массой \( m \):

\[ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} \]

где \( k_1 \) - искомый коэффициент жесткости пружины для удлинения в два раза.

3. Сравним значения \( T_0 \) и \( T_1 \) и установим соотношение между ними, учитывая, что \( T_1 \) должно быть в два раза больше \( T_0 \):

\[ T_1 = 2T_0 \]

4. Подставим значения \( T_0 \) и \( T_1 \) в формулы и выразим коэффициент жесткости \( k_1 \) через известные величины:

\[ 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\cdot(2\pi\sqrt{\frac{m}{k_0}}) \]

5. Упростим уравнение:

\[ \sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\sqrt{\frac{m}{k_0}} \]

6. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ \frac{m}{k_1} = 4\frac{m}{k_0} \]

7. Выразим \( k_1 \):

\[ k_1 = \frac{k_0}{4} \]

Таким образом, чтобы период гармонических колебаний увеличился в два раза для груза, подвешенного на пружине жесткостью 200 Н/м, необходимо взять пружину с коэффициентом жесткости \( k_1 = \frac{k_0}{4} = \frac{200}{4} = 50 \) Н/м.