Какой из игроков всегда может выигрывать в игре, в которую вдоску вбито 111 гвоздей, если игроки делают ходы по очереди

Для того, чтобы определить, какой из игроков всегда может выигрывать в данной игре, рассмотрим возможные варианты количества гвоздей в замкнутой цепи:

1. Если количество гвоздей равно 1, то ни один из игроков не может сделать ход, поскольку для создания замкнутой цепи требуется как минимум 3 гвоздя. Следовательно, игра невозможна.

2. Если количество гвоздей равно 3, то игрок, делающий первый ход, может просто соединить все гвозди ниткой и закрыть цепь. В итоге получится одна нить, которая является нечетной по количеству. Игрок, сделавший первый ход, выигрывает.

3. Если количество гвоздей равно 5, то игрок, делающий первый ход, может соединить два гвоздя ниткой так, чтобы получилась цепь из трех гвоздей. Затем игрок, делающий второй ход, может соединить оставшиеся два гвоздя и также получить цепь из трех гвоздей. В итоге получится две нити, каждая из которых является нечетной по количеству. Оба игрока могут закрыть свои цепи и никто не выигрывает. Таким образом, игра невозможна.

4. Если количество гвоздей равно 7, то игрок, делающий первый ход, может соединить два гвоздя ниткой и создать цепь из пяти гвоздей. Затем игрок, делающий второй ход, не сможет соединить оставшиеся два гвоздя каким-либо способом, чтобы получилась нечетная цепь. Следовательно, игрок, делающий первый ход, выигрывает.

5. Если количество гвоздей равно 9, то игрок, делающий первый ход, может повторить тот же ход, что и в случае с 7 гвоздями, и создать цепь из пяти гвоздей. Затем игрок, делающий второй ход, может создать цепь из трех гвоздей, соединив оставшиеся шесть гвоздей. Таким образом, получится две нити, каждая из которых является нечетной по количеству. Оба игрока могут закрыть свои цепи и никто не выигрывает. Игра снова невозможна.

Продолжая аналогичным образом для всех дальнейших нечетных количеств гвоздей в замкнутой цепи, мы видим, что всегда существует стратегия для первого игрока, позволяющая ему выиграть, независимо от начального количества гвоздей. Поэтому ответом на задачу является то, что всегда первый игрок может выигрывать.