Какой должен быть диаметр штока (d3), чтобы получить увеличение давления воды на выходе в 5 раз по сравнению с входным

Для решения этой задачи нам понадобится закон Паскаля, который гласит, что давление, создаваемое на одну точку жидкостью или газом, передается затем без изменений на все остальные точки.

Используя этот закон, мы можем создать уравнение, связывающее площади поршней и давления:

\[\frac{F_1}{F_2} = \frac{P_1}{P_2}\]

где \(F_1\) и \(F_2\) - площади соответствующих поршней, \(P_1\) и \(P_2\) - соответственно, давления на этих поршнях.

Мы знаем, что у нас есть три поршня: большой поршень, средний поршень и форсунка.

Для начала, найдем отношение площадей среднего поршня (\(F_2\)) и форсунки (\(f\)):

\[\frac{F_2}{f} = \frac{P_2}{P_f}\]

Также, мы можем рассмотреть отношение площади большого поршня (\(F_1\)) и среднего поршня (\(F_2\)):

\[\frac{F_1}{F_2} = \frac{P_1}{P_2}\]

Мы знаем значения диаметров большого (\(d_1\)) и среднего (\(d_2\)) поршней:

\(d_1 = 50\) и \(d_2 = 20\)

Мы также знаем площадь форсунки (\(f\)), которая равна 50.

Найдем площадь среднего поршня (\(F_2\)) с помощью формулы для площади круга:

\[F_2 = \frac{\pi \cdot d_2^2}{4}\]

Теперь мы можем рассчитать соотношение площадей среднего поршня и форсунки:

\[\frac{F_2}{f} = \frac{P_2}{P_f}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{\frac{\pi \cdot d_2^2}{4}}{50} = \frac{P_2}{P_f}\]

Теперь найдем соотношение площади большого поршня и среднего поршня:

\[\frac{F_1}{F_2} = \frac{P_1}{P_2}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{50}{\frac{\pi \cdot d_2^2}{4}} = \frac{P_1}{P_2}\]

Теперь мы знаем, что давление на форсунке (\(P_f\)) составляет \(P_f = 5 \cdot P_2\) (поскольку требуется получить увеличение давления в 5 раз).

Составим соотношение площадей поршня и форсунки:

\[\frac{\frac{\pi \cdot d_2^2}{4}}{50} = \frac{P_2}{5 \cdot P_2}\]

Упростим уравнение, сократив \(P_2\):

\[\frac{\frac{\pi \cdot d_2^2}{4}}{50} = \frac{1}{5}\]

Теперь можем найти диаметр среднего поршня (\(d_2\)):

\[\frac{\pi \cdot d_2^2}{4} = 50 \cdot \frac{1}{5}\]

Упростим уравнение:

\[\frac{\pi \cdot d_2^2}{4} = 10\]

Теперь решим уравнение для \(d_2\):

\[\pi \cdot d_2^2 = 10 \cdot 4\]

\[\pi \cdot d_2^2 = 40\]

\[d_2^2 = \frac{40}{\pi}\]

\[d_2 \approx 3.183\]

Теперь, зная диаметр среднего поршня (\(d_2\)), мы можем рассчитать диаметр штока (\(d_3\)).

Диаметр штока (\(d_3\)) равен двум разнице диаметров большого и среднего поршней:

\[d_3 = 2 \cdot (d_1 - d_2)\]

Подставим известные значения:

\[d_3 = 2 \cdot (50 - 3.183)\]

\[d_3 \approx 93.634\]

Таким образом, чтобы получить увеличение давления воды на выходе в 5 раз по сравнению с входным давлением, диаметр штока (\(d_3\)) должен быть примерно равен 93.634.