Какой центральный угол в развертке боковой поверхности конуса, если угол между высотой и образующей равен 30°?

Чтобы найти центральный угол в развертке боковой поверхности конуса, если угол между высотой и образующей равен 30°, нужно использовать свойства геометрических фигур и формулы для нахождения углов.

Давайте представим, что у нас есть конус с высотой \(h\) и радиусом образующей \(r\). У нас также есть угол между высотой и образующей, равный 30°.

В развертке боковой поверхности конуса, образующая превращается в дугу окружности, а высота превращается в радиус этой окружности.

Таким образом, развертка боковой поверхности конуса будет представлять собой дугу окружности с радиусом \(h\) и центральным углом \(α\), который мы и должны найти.

Чтобы найти центральный угол \(α\), нам нужно воспользоваться формулой, связывающей длину дуги и центральный угол:

\[l = rα\],

где \(l\) - длина дуги, а \(r\) - радиус окружности.

Хотя у нас нет конкретных данных о длине дуги, мы можем воспользоваться свойством равенства отношений дуг и центральных углов для двух различных дуг, образованных одним и тем же углом:

\[\frac{l_1}{α_1} = \frac{l_2}{α_2}\].

В нашем случае мы можем использовать этот принцип, чтобы установить соотношение между центральным углом \(α\) развертки боковой поверхности конуса и центральным углом \(30°\), образованным углом между высотой и образующей.

Поскольку дугой соответствует только половина окружности, мы можем записать:

\[\frac{l}{α} = \frac{1}{2} \cdot 2πr = πr\],

где \(l\) - длина дуги, \(r\) - радиус окружности, а \(α\) - центральный угол.

Теперь мы можем установить равенство отношений дуг и центральных углов:

\[\frac{πr}{α} = \frac{2πr}{30°}\].

Решим эту пропорцию, чтобы найти центральный угол \(α\):

\[\frac{πr}{α} = \frac{2πr}{30°}\].

Перемножим крест-накрест:

\[30° \cdot πr = 2πr \cdot α\].

Упростим выражение:

\[30° = 2α\].

Поделим обе стороны на 2:

\[15° = α\].

Таким образом, центральный угол в развертке боковой поверхности конуса составляет 15° при условии, что угол между высотой и образующей равен 30°.