Какой был бы период обращения звезды по орбите Земли, если ее масса была бы равна массе Солнца?

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать законы Кеплера, которые описывают движение тел по орбите.

Первый закон Кеплера, известный как закон инерции, гласит, что планета движется по эллиптической орбите, где Солнце занимает один из фокусов.

Второй закон Кеплера, известный как закон радиус-вектора, утверждает, что радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, за равные промежутки времени заметает равные площади.

Третий закон Кеплера, также известный как закон периодов, устанавливает зависимость между периодом обращения планеты вокруг Солнца и ее полуосью орбиты. Математическое выражение этого закона: \(T^2 = \frac{{4\pi^2}}{{G(M_1 + M_2)}}a^3\), где \(T\) - период обращения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_1\) и \(M_2\) - массы планеты и Солнца соответственно, \(a\) - полуось орбиты.

У нас есть информация, что масса звезды равна массе Солнца. Таким образом, мы можем заменить \(M_2\) в формуле третьего закона Кеплера на массу Солнца.

Так как мы рассматриваем орбиту вокруг Земли, полуось орбиты \(a\) будет равна расстоянию между Землей и Солнцем, то есть приблизительно 149.6 миллионов километров.

Теперь мы можем подставить все значения в формулу и решить ее.

\[
T^2 = \frac{{4\pi^2}}{{G(M_{\text{Солнца}} + M_{\text{Звезды}})}}a^3
\]

Подставляем значения и получаем:

\[
T^2 = \frac{{4\pi^2}}{{G(1\ M_{\text{Солнца}} + 1\ M_{\text{Солнца}})}}(149.6 \times 10^6)^3
\]

Сокращаем в формуле, учитывая, что \(1\ M_{\text{Солнца}} + 1\ M_{\text{Солнца}} = 2\ M_{\text{Солнца}}\):

\[
T^2 = \frac{{4\pi^2}}{{G(2\ M_{\text{Солнца}})}}(149.6 \times 10^6)^3
\]

Теперь все, что осталось, это извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения, чтобы найти период обращения \(T\):

\[
T = \sqrt{\frac{{4\pi^2}}{{G(2\ M_{\text{Солнца}})}}}(149.6 \times 10^6)^{3/2}
\]

Однако, давайте не забудем уточнить значения, которые мы используем. Значение гравитационной постоянной \(G\) составляет приблизительно \(6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\), а масса Солнца \(M_{\text{Солнца}}\) равна приблизительно \(1.99 \times 10^{30} \, \text{кг}\).

Подставляем эти значения и решаем искомую формулу:

\[
T = \sqrt{\frac{{4\pi^2}}{{(6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2))(2(1.99 \times 10^{30} \, \text{кг}))}}}(149.6 \times 10^6)^{3/2}
\]