Каковы значения x, при которых 7ctg^2(x) + 2ctg(x) - 5 равно нулю?

Чтобы найти значения \(x\), при которых выражение \(7\cdot\operatorname{ctg}^2(x) + 2\cdot\operatorname{ctg}(x) - 5\) равно нулю, мы должны решить эту квадратное уравнение относительно \(\operatorname{ctg}(x)\). Давайте выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение: \(7\cdot\operatorname{ctg}^2(x) + 2\cdot\operatorname{ctg}(x) - 5 = 0\).
2. Заменим \(\operatorname{ctg}(x)\) на переменную \(t\). Затем уравнение примет вид: \(7t^2 + 2t - 5 = 0\).
3. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта.
Для нахождения корней уравнения вида \(at^2 + bt + c = 0\) используется формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных рациональных корня; если \(D = 0\), то имеется один корень кратности 2; и если \(D < 0\), то уравнение не имеет рациональных корней.
В нашем случае, \(a = 7\), \(b = 2\) и \(c = -5\). Вычислим дискриминант:
\(D = 2^2 - 4\cdot7\cdot(-5) = 4 + 140 = 144\).
4. Так как дискриминант \(D = 144 > 0\), у нас есть два различных рациональных корня.
Чтобы найти корни уравнения, мы используем следующую формулу: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Подставим значения: \(t_1 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2\cdot7}\) и \(t_2 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2\cdot7}\).
Упростим их:
\(t_1 = \frac{-2 + 12}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}\).
\(t_2 = \frac{-2 - 12}{14} = \frac{-14}{14} = -1\).
5. Мы нашли значения \(t\) (\(\operatorname{ctg}(x)\)), но нам нужно найти значения \(x\). Воспользуемся определением котангенса: \(\operatorname{ctg}(x) = \frac{1}{\tan(x)}\).
Таким образом, \(\operatorname{ctg}(x) = \frac{5}{7}\) и \(\operatorname{ctg}(x) = -1\).
6. Найдем значения \(x\), соответствующие этим значениям \(\operatorname{ctg}(x)\):
Для \(\operatorname{ctg}(x) = \frac{5}{7}\), \(\tan(x) = \frac{1}{\frac{5}{7}} = \frac{7}{5}\).
Используя таблицу тангенсов, мы видим, что \(\tan(x) = \frac{7}{5}\) при \(x = \arctan(\frac{7}{5}) + n\pi\), где \(n\) - любое целое число.
Для \(\operatorname{ctg}(x) = -1\), \(\tan(x) = \frac{1}{-1} = -1\).
Используя таблицу тангенсов, мы видим, что \(\tan(x) = -1\) при \(x = \frac{3\pi}{4} + n\pi\), где \(n\) - любое целое число.

Таким образом, значения \(x\) для уравнения \(7\cdot\operatorname{ctg}^2(x) + 2\cdot\operatorname{ctg}(x) - 5 = 0\) равны:
\(x = \arctan(\frac{7}{5}) + n\pi\) и \(x = \frac{3\pi}{4} + n\pi\), где \(n\) - любое целое число.