Каковы значения высот параллелограмма abcd, опущенных из вершины тупого угла на стороны ad и cd соответственно, если

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для вычисления площади параллелограмма. Также, нам понадобится знание о том, что высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла на одну из сторон, является перпендикуляром к этой стороне и делит её на две пропорциональные части.

Обозначим высоту, опущенную из вершины тупого угла на сторону \(ad\), как \(h_1\), а высоту, опущенную из вершины тупого угла на сторону \(cd\), как \(h_2\).

По условию задачи, известно, что площади треугольников \(s_{abk} = 6 \, см^2\) и \(s_{bhc} = 13,5 \, см^2\).

Формула для вычисления площади параллелограмма выглядит следующим образом:

\[S = a \times h\]

где \(S\) - площадь параллелограмма, \(a\) - длина одной из сторон параллелограмма, а \(h\) - высота, опущенная на эту сторону.

Так как параллелограмм \(abcd\) имеет высоты, опущенные на стороны \(ad\) и \(cd\), мы можем записать следующие уравнения:

\[S_{abk} = ab \times h_1\]
\[S_{bhc} = hc \times h_2\]

Из условия задачи также известно, что сторона \(bc\) равна \(7,5 \, см\).

Найдем длину стороны \(ab\), используя формулу для площади треугольника:

\[S_{abk} = \frac{1}{2} \times ab \times h_1\]

Подставим известные значения:

\[6 = \frac{1}{2} \times ab \times h_1\]

\[ab \times h_1 = 12\]

Также, найдем длину стороны \(hc\) по аналогичной формуле:

\[S_{bhc} = \frac{1}{2} \times hc \times h_2\]

\[13,5 = \frac{1}{2} \times hc \times h_2\]

\[hc \times h_2 = 27\]

Заметим, что \(h_1 = h_2\), так как это высоты, опущенные из одной и той же вершины.

Теперь мы имеем систему уравнений:

\[\begin{cases} ab \times h_1 = 12 \\ hc \times h_1 = 27 \end{cases}\]

Разделим оба уравнения на \(h_1\):

\[\begin{cases} ab = \frac{12}{h_1} \\ hc = \frac{27}{h_1} \end{cases}\]

Заметим, что стороны \(ab\) и \(hc\) образуют пару пропорциональных сторон параллелограмма. Так как сторона \(bc\) равна 7,5 см, можем записать пропорцию:

\[\frac{ab}{7,5} = \frac{7,5}{hc}\]

Умножим оба выражения на \(h_1\):

\[\frac{ab}{7,5} \times h_1 = \frac{7,5}{hc} \times h_1\]

Подставляем значения \(ab = \frac{12}{h_1}\) и \(hc = \frac{27}{h_1}\):

\[\frac{\frac{12}{h_1}}{7,5} \times h_1 = \frac{7,5}{\frac{27}{h_1}} \times h_1\]