Каковы значения sin2a, cos2a, tg2a при данном условии: значение cos a равно 1/3?

Для решения этой задачи, давайте вначале вспомним некоторые основные тригонометрические тождества для двойных углов:

\[\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\]

\[\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)\]

\[\tan(2a) = \frac{{2\tan(a)}}{{1-\tan^2(a)}}\]

Мы знаем, что значение \(\cos(a)\) равно \(1/3\), поэтому мы можем использовать это значение, чтобы найти значения \(\sin(2a)\), \(\cos(2a)\) и \(\tan(2a)\).

1. Рассчитаем \(\sin(2a)\):

Используя формулу \(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\), подставим \(1/3\) вместо \(\cos(a)\):

\[\sin(2a) = 2\sin(a)\cdot\frac{1}{3}\]

2. Рассчитаем \(\cos(2a)\):

Используя формулу \(\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)\), подставим \(1/3\) вместо \(\cos(a)\) и найдем \(\sin(a)\):

\[\cos^2(a) = \frac{1}{3}^2 = \frac{1}{9}\]

\[\sin^2(a) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\]

Теперь, используя найденные значения \(\cos^2(a)\) и \(\sin^2(a)\), рассчитаем \(\cos(2a)\):

\[\cos(2a) = \frac{1}{9} - \frac{8}{9} = -\frac{7}{9}\]

3. Рассчитаем \(\tan(2a)\):

Используя формулу \(\tan(2a) = \frac{{2\tan(a)}}{{1-\tan^2(a)}}\), подставим \(1/3\) вместо \(\tan(a)\) и найдем \(\tan^2(a)\):

\[\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} = \frac{\sqrt{\frac{8}{9}}}{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{8}{9}}\cdot\frac{3}{1} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\]

\[\tan^2(a) = \left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}\]

Теперь, используя найденное значение \(\tan^2(a)\), рассчитаем \(\tan(2a)\):

\[\tan(2a) = \frac{{2\cdot\frac{2\sqrt{6}}{3}}}{{1-\frac{8}{3}}} = \frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{-\frac{5}{3}} = -\frac{4\sqrt{6}}{5}\]

Итак, ответ на задачу состоит из следующих значений:

\(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\) = \(2\cdot\frac{1}{3}\cdot\sin(a)\) = \(\frac{2}{3}\sin(a)\)

\(\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)\) = \(\frac{1}{9} - \frac{8}{9}\) = \(-\frac{7}{9}\)

\(\tan(2a) = \frac{{2\tan(a)}}{{1-\tan^2(a)}}\) = \(\frac{{2\cdot\frac{2\sqrt{6}}{3}}}{{1-\frac{8}{3}}}\) = \(-\frac{4\sqrt{6}}{5}\)

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как получить значения \(\sin(2a)\), \(\cos(2a)\) и \(\tan(2a)\) при известном значении \(\cos(a)\).