Каковы значения резонансной частоты, максимального напряжения на конденсаторе и катушке при резонансной частоте

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для резонансной частоты в RLC-контуре, а также формулы для максимального напряжения на конденсаторе и катушке. Давайте начнем с резонансной частоты.

1. Резонансная частота (\(f_0\)) в RLC-контуре вычисляется по формуле:

\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

Где \(L\) - индуктивность катушки (в генри), \(C\) - емкость конденсатора (в фарадах) и \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159.

В нашем случае, \(L = 5 \times 10^{-3}\) Гн и \(C = 0.05 \times 10^{-6}\) Ф. Подставляя эти значения в формулу, мы получим:

\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \times 10^{-3} \times 0.05 \times 10^{-6}}}\]

\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.5 \times 10^{-10}}}\]

\[f_0 \approx \frac{1}{2\pi \times 5 \times 10^{-6}}\]

\[f_0 \approx \frac{1}{10 \times 10^{-6}}\]

\[f_0 \approx 100 \text{ кГц}\]

Таким образом, резонансная частота \(f_0\) равна примерно 100 кГц.

2. Максимальное напряжение на конденсаторе (\(V_C\)) и катушке (\(V_L\)) также можно вычислить с использованием формулы:

\[V_C = V_L = I \times X\]

Где \(I\) - ток в цепи и \(X\) - реактивное сопротивление контура, которое выражается формулой:

\[X = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{{\omega C}})^2}\]

Где \(\omega\) - угловая частота, равная \(2\pi f_0\), \(R\) - активное сопротивление реостата (в омах), \(L\) - индуктивность катушки (в генри) и \(C\) - емкость конденсатора (в фарадах).

Подставляя значения \(R = 100\) Ом, \(L = 5 \times 10^{-3}\) Гн, \(C = 0.05 \times 10^{-6}\) Ф и \(f_0 = 100\) кГц в формулы, мы можем вычислить \(X\), \(V_C\) и \(V_L\).

Для удобочитаемости ответа опустим некоторые промежуточные вычисления и округлим окончательные значения до двух знаков после запятой.

\(\omega = 2\pi \times 100 \times 10^3\) рад/с

\(X = \sqrt{100^2 + (\omega \times 5 \times 10^{-3} - \frac{1}{{\omega \times 0.05 \times 10^{-6}}})^2}\) \(\approx 100.5\) Ом

\(V_C = V_L = I \times X\) (где \(I\) - ток в цепи)

3. Действующее значение напряжения в цепи (\(V_{\text{эфф}}\)) также известно как амплитудное значение (\(V_{\text{амп}}\)) и вычисляется с использованием формулы:

\[V_{\text{эфф}} = V_{\text{амп}} = X \times I\]

Где \(X\) - реактивное сопротивление и \(I\) - ток в цепи.

Таким образом, чтобы получить ответ на задачу необходимо знать ток в цепи (\(I\)), который можно найти, зная напряжение на реостате и активное сопротивление реостата:

\[I = \frac{U_R}{R}\]

Подставим в формулу значения \(U_R = V_{\text{амп}}\) (максимальное напряжение на реостате) и \(R = 100\) Ом, и затем вычислим \(V_{\text{амп}}\):

\[V_{\text{амп}} = \frac{V_{\text{амп}}}{100} \times 100\]

\[V_{\text{амп}} = V_{\text{амп}}\]

Таким образом, действующее значение напряжения в цепи равно максимальному значению напряжения на реостате или амплитудному значению напряжения на реостате.

Для окончательного ответа нам нужно знать максимальное напряжение на реостате (\(V_{\text{амп}}\)) и ток в цепи (\(I\)):

\(V_C = V_L = I \times X\)

\(V_{\text{амп}} = V_C = V_L\)

\(V_{\text{эфф}} = V_{\text{амп}} = X \times I\)

Итак, для данного RLC-контура с \(R = 100\) Ом, \(L = 5 \times 10^{-3}\) Гн и \(C = 0.05 \times 10^{-6}\) Ф, значения резонансной частоты (\(f_0\)), максимального напряжения на конденсаторе и катушке (\(V_C\) и \(V_L\)), а также действующего значения напряжения в цепи (\(V_{\text{эфф}}\)) будут равны \(f_0 \approx 100\) кГц, \(V_C \approx 100.5\) В, \(V_L \approx 100.5\) В, и \(V_{\text{эфф}} \approx V_{\text{амп}} \approx 100.5\) В.