Каковы значения резонансной частоты, максимального напряжения на конденсаторе и катушке при резонансной частоте

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для резонансной частоты в RLC-контуре, а также формулы для максимального напряжения на конденсаторе и катушке. Давайте начнем с резонансной частоты.

1. Резонансная частота ($f_0$) в RLC-контуре вычисляется по формуле:

$$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

Где $L$ - индуктивность катушки (в генри), $C$ - емкость конденсатора (в фарадах) и $\pi$ - математическая константа, примерно равная 3.14159.

В нашем случае, $L=5\times {10}^{-3}$ Гн и $C=0.05\times {10}^{-6}$ Ф. Подставляя эти значения в формулу, мы получим:

$$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{5\times {10}^{-3}\times 0.05\times {10}^{-6}}}$$

$$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{2.5\times {10}^{-10}}}$$

$$f_0\approx \frac{1}{2\pi \times 5\times {10}^{-6}}$$

$$f_0\approx \frac{1}{10\times {10}^{-6}}$$

$$f_0\approx 100\text{ кГц}$$

Таким образом, резонансная частота $f_0$ равна примерно 100 кГц.

2. Максимальное напряжение на конденсаторе ($V_C$) и катушке ($V_L$) также можно вычислить с использованием формулы:

$$V_C=V_L=I\times X$$

Где $I$ - ток в цепи и $X$ - реактивное сопротивление контура, которое выражается формулой:

$$X=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C}{)}^2}$$

Где $\omega$ - угловая частота, равная $2\pi f_0$, $R$ - активное сопротивление реостата (в омах), $L$ - индуктивность катушки (в генри) и $C$ - емкость конденсатора (в фарадах).

Подставляя значения $R=100$ Ом, $L=5\times {10}^{-3}$ Гн, $C=0.05\times {10}^{-6}$ Ф и $f_0=100$ кГц в формулы, мы можем вычислить $X$, $V_C$ и $V_L$.

Для удобочитаемости ответа опустим некоторые промежуточные вычисления и округлим окончательные значения до двух знаков после запятой.

$\omega =2\pi \times 100\times {10}^3$ рад/с

$X=\sqrt{{100}^2+(\omega \times 5\times {10}^{-3}-\frac{1}{\omega \times 0.05\times {10}^{-6}}{)}^2}$ $\approx 100.5$ Ом

$V_C=V_L=I\times X$ (где $I$ - ток в цепи)

3. Действующее значение напряжения в цепи ($V_{\text{эфф}}$) также известно как амплитудное значение ($V_{\text{амп}}$) и вычисляется с использованием формулы:

$$V_{\text{эфф}}=V_{\text{амп}}=X\times I$$

Где $X$ - реактивное сопротивление и $I$ - ток в цепи.

Таким образом, чтобы получить ответ на задачу необходимо знать ток в цепи ($I$), который можно найти, зная напряжение на реостате и активное сопротивление реостата:

$$I=\frac{U_R}{R}$$

Подставим в формулу значения $U_R=V_{\text{амп}}$ (максимальное напряжение на реостате) и $R=100$ Ом, и затем вычислим $V_{\text{амп}}$:

$$V_{\text{амп}}=\frac{V_{\text{амп}}}{100}\times 100$$

$$V_{\text{амп}}=V_{\text{амп}}$$

Таким образом, действующее значение напряжения в цепи равно максимальному значению напряжения на реостате или амплитудному значению напряжения на реостате.

Для окончательного ответа нам нужно знать максимальное напряжение на реостате ($V_{\text{амп}}$) и ток в цепи ($I$):

$V_C=V_L=I\times X$

$V_{\text{амп}}=V_C=V_L$

$V_{\text{эфф}}=V_{\text{амп}}=X\times I$

Итак, для данного RLC-контура с $R=100$ Ом, $L=5\times {10}^{-3}$ Гн и $C=0.05\times {10}^{-6}$ Ф, значения резонансной частоты ($f_0$), максимального напряжения на конденсаторе и катушке ($V_C$ и $V_L$), а также действующего значения напряжения в цепи ($V_{\text{эфф}}$) будут равны $f_0\approx 100$ кГц, $V_C\approx 100.5$ В, $V_L\approx 100.5$ В, и $V_{\text{эфф}}\approx V_{\text{амп}}\approx 100.5$ В.