Каковы значения катетов прямоугольного треугольника DEF, если известны длины медианы DM и sin(DMQ)?

Для решения этой задачи вам понадобится использовать теорему о медианах треугольника и соотношение между синусом угла и отношением противоположного катета к гипотенузе.

По определению медианы треугольника, медиана является отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Поэтому, если DM - медиана, то точка M является серединой стороны EF.

Теорема о медианах гласит, что медиана треугольника делит противоположную сторону пополам. То есть, если DM - медиана, то DE = EF.

Теперь давайте рассмотрим угол DMQ. По определению синуса, sin(DMQ) = \(\frac{{противоположный}}{{гипотенуза}}\). В нашем случае, противоположным является катет DM, а гипотенузой является катет DE. Поэтому sin(DMQ) = \(\frac{{DM}}{{DE}}\).

У нас есть два уравнения: DE = EF и sin(DMQ) = \(\frac{{DM}}{{DE}}\). Мы можем использовать эти уравнения для нахождения значений катетов треугольника DEF.

Сначала решим уравнение DE = EF. Поскольку мы знаем, что точка M является серединой стороны EF, и катет DM является медианой, то DE = EF = 2 * DM.

Теперь подставим это значение во второе уравнение sin(DMQ) = \(\frac{{DM}}{{DE}}\):

sin(DMQ) = \(\frac{{DM}}{{2 * DM}} = \frac{1}{2}\)

Теперь нам нужно найти такой угол DMQ, у которого синус равен \(\frac{1}{2}\). Мы знаем, что sin(DMQ) = \(\frac{1}{2}\), это значит, что DMQ = 30 градусов.

В итоге, мы получаем, что угол DMQ равен 30 градусов, а катеты треугольника DEF (DE и DF) равны друг другу и дают нам ответ: DE = DF.