Каковы значения более длинной диагонали прямой призмы и тангенса угла между этой диагональю и плоскостью основания

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые знания о геометрии призмы и тригонометрии. Давайте начнем.

1. Определим длину более длинной диагонали прямой призмы.
Диагональ плоскости основания -- это отрезок, соединяющий ее вершины. В нашем случае, основание -- это параллелограмм, у которого стороны равны 5 см и 10 см. Поскольку у параллелограмма противоположные стороны равны, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения диагонали.

Пусть a и b -- стороны параллелограмма, а c -- диагональ. Тогда справедливо следующее:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
\[c^2 = 5^2 + 10^2\]
\[c^2 = 25 + 100\]
\[c^2 = 125\]
\[c = \sqrt{125}\]
\[c \approx 11,18\] см

Таким образом, длина более длинной диагонали прямой призмы составляет около 11,18 см.

2. Теперь найдем тангенс угла между данной диагональю и плоскостью основания.
Тангенс угла можно найти, используя соотношение тангенса: \[tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{примыкающий катет}}\]
В данном случае у нас есть диагональ призмы (противолежащий катет) и прямоугольный треугольник, образованный диагональю и стороной параллелограмма (примыкающий катет).

Определим значение противолежащего катета. Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому противолежащий катет будет равен половине основания параллелограмма, то есть 5 см / 2 = 2.5 см.

Определим значение примыкающего катета. Примыкающий катет будет равен высоте прямой призмы, поскольку он образует сторону прямоугольного треугольника с диагональю. Для нахождения значения высоты нам понадобится знание о тупом угле параллелограмма.

Определение высоты призмы: в параллелограмме высота - это расстояние между двумя параллельными сторонами, которое опущено из одной вершины на другую параллельную сторону.

Тупой угол параллелограмма равен 120°, и он есть угол между сторонам 5 см и 10 см. Для определения высоты призмы, мы можем использовать формулу синуса:
\[h = b \cdot sin(\theta)\]
где h - высота, b - сторона параллелограмма, а \(\theta\) - тупой угол.

\[h = 5 \cdot sin(120°)\]
\[h = 5 \cdot sin(\frac{2\pi}{3})\]

Мы должны преобразовать значения угла из градусов в радианы, потому что функция синуса принимает значения в радианах. Для этого мы используем тот факт, что \(\pi\) радиан равно 180°:
\[\frac{2\pi}{3} = \frac{2 \cdot 3.14}{3} \approx 2.094\]

Продолжим решение:
\[h = 5 \cdot sin(2.094)\]
\[h \approx 5 \cdot 0.866\]
\[h \approx 4.33\]

Таким образом, высота прямой призмы составляет около 4.33 см.

Вернемся к расчету тангенса угла. Мы знаем, что противолежащий катет (диагональ призмы) равен 2.5 см, а примыкающий катет (высота призмы) составляет около 4.33 см. Теперь можем вычислить тангенс угла:
\[tan(\theta) = \frac{2.5}{4.33}\]
\[tan(\theta) \approx 0.578\]

Таким образом, тангенс угла между более длинной диагональю прямой призмы и плоскостью основания составляет приблизительно 0.578.