Каковы значение угла Ø, если SinØ = -13cosØ + 12tanØ?

Чтобы найти значение угла \(\Theta\), для которого выполняется уравнение \(\sin\Theta = -13\cos\Theta + 12\tan\Theta\), воспользуемся тригонометрическими идентичностями и математическими преобразованиями. Ответ будем искать в диапазоне \(0 \leq \Theta \leq 360^\circ\).

Шаг 1: Преобразуем уравнение \(\sin\Theta = -13\cos\Theta + 12\tan\Theta\) так, чтобы уравнять коэффициенты тригонометрических функций только по одной стороне. Приведём тангенс к отношению синуса к косинусу: \(\sin\Theta = -13\cos\Theta + \frac{12\sin\Theta}{\cos\Theta}\).

Шаг 2: Приведём подобные слагаемые и упростим уравнение: \(\sin\Theta - \frac{12\sin\Theta}{\cos\Theta} = -13\cos\Theta\).

Шаг 3: Сократим общий множитель \(\sin\Theta\) на обеих сторонах уравнения: \(\sin\Theta(1 - \frac{12}{\cos\Theta}) = -13\cos\Theta\).

Шаг 4: По тригонометрической идентичности связывающей синус и косинус: \(\sin^2\Theta = 1 - \cos^2\Theta\), заменим \(\sin\Theta\) в уравнении: \((1 - \cos^2\Theta)(1 - \frac{12}{\cos\Theta}) = -13\cos\Theta\).

Шаг 5: Раскроем скобки: \((1 - \cos^2\Theta) - 12(1 - \cos\Theta) = -13\cos\Theta\).

Шаг 6: Упростим уравнение: \(1 - \cos^2\Theta - 12 + 12\cos\Theta = -13\cos\Theta\).

Шаг 7: Приведём подобные слагаемые: \(-\cos^2\Theta + 12\cos\Theta - \cos\Theta = -13\cos\Theta - 1\).

Шаг 8: Перенесём все слагаемые влево: \(-\cos^2\Theta + 12\cos\Theta - \cos\Theta + 13\cos\Theta + 1 = 0\).

Шаг 9: Сведём все слагаемые квадратичного уравнения к общему знаменателю: \(-\cos^2\Theta + 24\cos\Theta + 1 = 0\).

Шаг 10: Решим полученное квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае \(a = -1\), \(b = 24\), \(c = 1\). Решим уравнение с использованием формулы дискриминанта: \(\Delta = b^2 - 4ac\). Подставим значения:

\[
\Delta = 24^2 - 4(-1)(1) = 576 + 4 = 580
\]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два вещественных корня.

Шаг 11: Используем формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \(\cos\Theta = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\). Подставим значения:

\[
\cos\Theta = \frac{-24 \pm \sqrt{580}}{2(-1)} = \frac{-24 \pm 2\sqrt{145}}{-2} = 12 \pm \sqrt{145}
\]

Шаг 12: Определим значения \(\Theta\) в интервале \(0 \leq \Theta \leq 360^\circ\) для обоих корней. Используем обратные тригонометрические функции:

\[
\Theta_1 = \arccos(12 + \sqrt{145}), \quad \Theta_2 = \arccos(12 - \sqrt{145})
\]

Таким образом, значения угла \(\Theta\) удовлетворяющие данному уравнению: \(\Theta_1\) и \(\Theta_2\).

Для окончательного ответа и более точного значения угла \(\Theta\), требуется использовать калькулятор либо математическое программное обеспечение, чтобы получить приближенные численные значения для \(\Theta_1\) и \(\Theta_2\). Известно, что \(\Theta\) может быть в градусах и радианах, поэтому следует быть внимательным и убедиться, что полученные значения угла находятся в правильном измерении.