Каковы уравнения окружности, которая проходит через точку А(-5,6) и B(-1,4), при этом хорда АB является диаметром?

Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки A(-5,6) и B(-1,4) и имеющей хорду AB в качестве диаметра, мы можем воспользоваться следующим алгоритмом:

Шаг 1: Найдите координаты центра окружности.
Шаг 2: Найдите радиус окружности.
Шаг 3: Запишите окончательное уравнение окружности.

Шаг 1: Найдите координаты центра окружности.
Поскольку хорда AB является диаметром окружности, координаты центра окружности будут находиться на середине отрезка AB. Мы можем использовать формулу середины отрезка:

\( x_c = \frac{{x_a + x_b}}{2} \)
\( y_c = \frac{{y_a + y_b}}{2} \)

Где (x_c, y_c) - координаты центра окружности, (x_a, y_a) и (x_b, y_b) - координаты точек A и B соответственно.

Для наших точек A(-5,6) и B(-1,4), мы можем вычислить:
\( x_c = \frac{{-5 + (-1)}}{2} = -3 \)
\( y_c = \frac{{6 + 4}}{2} = 5 \)

Таким образом, координаты центра окружности равны (-3, 5).

Шаг 2: Найдите радиус окружности.
Поскольку хорда AB является диаметром, радиус окружности будет половиной длины хорды. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

\( d = \sqrt{{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}} \)

Где d - длина хорды AB, (x_a, y_a) и (x_b, y_b) - координаты точек A и B соответственно.

Для наших точек A(-5,6) и B(-1,4), мы можем вычислить:
\( d = \sqrt{{(-1 - (-5))^2 + (4 - 6)^2}} = \sqrt{{16 + 4}} = \sqrt{{20}} = 2\sqrt{{5}} \)

Таким образом, радиус окружности равен 2sqrt(5).

Шаг 3: Запишите окончательное уравнение окружности.
Уравнение окружности имеет следующий вид:

\( (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2 \)

Где (x_c, y_c) - координаты центра окружности и r - радиус окружности.

Подставляя наши значения, мы получаем:
\( (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = (2\sqrt{{5}})^2 \)
\( (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 20 \)

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точки A(-5,6) и B(-1,4) с хордой AB в качестве диаметра, равно:
\( (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 20 \)

Это уравнение представляет окружность с центром (-3, 5) и радиусом 2sqrt(5).