Каковы стороны прямоугольника abcd, если его периметр составляет 24 см, точка p является серединой стороны bc, а угол

Для начала, давайте определим неизвестные стороны прямоугольника. Обозначим сторону ab через \(a\) и сторону ad через \(b\).

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон. Поэтому мы можем записать уравнение:

\[2a + 2b = 24\]

Теперь давайте рассмотрим середину стороны bc, обозначенную как точка p. Так как p является серединой стороны bc, то bp и pc имеют равные длины. Это означает, что длина bp равна длине pc.

Так как угол apd равен 90°, то треугольник apd - прямоугольный. Мы можем использовать эту информацию для нахождения длин сторон прямоугольника.

Заметим, что если pd - это высота треугольника apd, то pd - это половина длины стороны bc. Используя теорему Пифагора, мы можем записать уравнение:

\[pd^2 + ad^2 = ap^2\]

Так как у нас есть равенство \(\angle apd = 90°\), то мы можем упростить уравнение, зная, что pd - это половина длины стороны bc:

\[\left(\frac{b}{2}\right)^2 + a^2 = ap^2\]

Вспомним, что длина bp равна длине pc. Таким образом, длина bc равна \(2 \times \frac{b}{2} = b\).

Подставим это в уравнение, чтобы получить:

\[\left(\frac{b}{2}\right)^2 + a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Решим их систему уравнений:

\(\begin{cases} 2a + 2b = 24 \\ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2 \end{cases}\)

Первое уравнение можно упростить, разделив его на 2:

\(a + b = 12\)

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} a + b = 12 \\ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2 \end{cases}\)

Мы видим, что \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) сократится в двух уравнениях. Упростим систему еще больше:

\(\begin{cases} a + b = 12 \\ a^2 = b^2 \end{cases}\)

Так как \(a^2 = b^2\), то \(a = b\) или \(a = -b\). У нас нет отрицательных сторон прямоугольника, поэтому мы можем использовать только \(a = b\).

Теперь подставим \(a\) в первое уравнение:

\(a + a = 12\) или \(2a = 12\)

Решаем уравнение и находим \(a = 6\). Поскольку \(a = b\), то \(b = 6\).

Итак, стороны прямоугольника abcd равны 6 см и 6 см.