Каковы стороны фигур, вписанных в окружность радиусом 10 см, если это а) треугольник с равными сторонами, б) квадрат

Хорошо, давайте решим эту задачу по порядку:

а) Для того чтобы найти стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом 10 см, мы можем воспользоваться свойствами равностороннего треугольника и окружности.

Рассмотрим следующую схему:

$$\begin{array}{ccc}& & \\ & \text{C}& \\ & & \\ A& & B\\ & & \\ & O& \\ & & \end{array}$$

где O - центр окружности, A, B и C - вершины треугольника, AB - сторона треугольника, OC - радиус окружности.

Мы знаем, что для равностороннего треугольника все его стороны равны. Пусть сторона треугольника AB равна s. Также мы знаем, что OC - радиус окружности - равен 10 см.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AOC. Это прямоугольный треугольник, в котором сторона AC является гипотенузой, а стороны AO и OC являются катетами.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов по теореме Пифагора.

Применяя эту теорему к треугольнику AOC, мы получаем:

$$A{C}^2=A{O}^2+O{C}^2.$$

Мы знаем, что стороны треугольника AO и OC равны радиусу окружности, то есть 10 см, так как центр окружности совпадает с вершиной A.

Подставляя известные значения в уравнение, получаем:

$$A{C}^2={10}^2+{10}^2,$$
$$A{C}^2=200,$$
$$AC=\sqrt{200}.$$

Так как мы ищем сторону треугольника, которая равна s, то получаем:

$$s=AC=\sqrt{200}.$$
$$s\approx 14.14\text{ см}.$$

Таким образом, сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом 10 см, примерно равна 14.14 см.

б) Теперь рассмотрим квадрат, вписанный в окружность радиусом 10 см.

При вписывании квадрата в окружность к каждой вершине квадрата можно провести радиус окружности. Таким образом, получится 4 радиуса, соединяющих центр окружности с вершинами квадрата.

Так как радиус окружности равен 10 см, то это также будет сторона квадрата.

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в окружность радиусом 10 см, будет равна 10 см.

в) Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник с равными катетами, вписанный в окружность радиусом 10 см.

Для вписанного прямоугольного треугольника с равными катетами верно следующее соотношение:

$$AB=AC=BC=x,$$

где x - длина катета треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC и BC, и гипотенузой AB.

Если мы проведем линию из точки O, являющейся центром окружности, до середины гипотенузы AB, получится высота прямоугольного треугольника. Эта линия будет перпендикулярна гипотенузе и разделит ее на две равные части.

Так как точка O является центром окружности, OA и OB равны радиусу окружности, то есть 10 см.

Также мы знаем, что точка пересечения высоты с гипотенузой делит гипотенузу на отрезки в соотношении 1:1.

Используя это знание, мы можем написать уравнение:

$$AO=\frac{AB}{2}.$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$10=\frac{x}{2},$$
$$x=20.$$

Таким образом, каждый катет прямоугольного треугольника с равными катетами, вписанного в окружность радиусом 10 см, равен 20 см.

Итак, стороны фигур, вписанных в окружность радиусом 10 см, будут следующими:

а) сторона равностороннего треугольника - примерно 14.14 см;
б) сторона квадрата - 10 см;
в) стороны прямоугольного треугольника - каждая равна 20 см.