Каковы средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от 0 до 3 с, если при вращении тела

Хорошо, чтобы найти средние значения угловой скорости и углового ускорения, нам сначала необходимо выразить угол поворота как функцию времени, затем применить соответствующие формулы.

У нас дана формула зависимости угла поворота от времени: \(f = (2t^4 - 2)\) рад.

Формула для угловой скорости \(\omega\) определяется как производная угла поворота по времени:

\[\omega = \frac{{df}}{{dt}}\]

Таким образом, для нашего случая:

\[\omega = \frac{{d}}{{dt}}(2t^4 - 2)\]

Чтобы найти производную этой функции, нам понадобится знание правил дифференцирования. Применим правило дифференцирования степенной функции, где \(n\) - показатель степени и \(u(t)\) - функция, зависящая от переменной \(t\):

\[\frac{{d}}{{dt}}(u(t)^n) = n \cdot u(t)^{n-1} \cdot \frac{{du}}{{dt}}\]

Применяя это правило к нашему случаю, получим:

\[\omega = \frac{{d}}{{dt}}(2t^4) - \frac{{d}}{{dt}}(2)\]

\[\omega = 8t^3 - 0\]

\[\omega = 8t^3\]

Таким образом, угловая скорость \(\omega\) равна \(8t^3\) рад/с.

Формула для углового ускорения \(\alpha\) определяется как производная угловой скорости по времени:

\[\alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}}\]

Продифференцируем угловую скорость по времени:

\[\alpha = \frac{{d}}{{dt}}(8t^3)\]

Снова используем правило дифференцирования степенной функции:

\[\alpha = 8 \cdot 3t^{3-1}\]

\[\alpha = 24t^2\]

Таким образом, угловое ускорение \(\alpha\) равно \(24t^2\) рад/с².

Теперь мы можем найти средние значения угловой скорости и углового ускорения на заданном промежутке времени от 0 до 3 с.

Среднее значение угловой скорости \(\overline{\omega}\) на данном промежутке времени можно найти, используя следующую формулу:

\[\overline{\omega} = \frac{{\int_{0}^{3} \omega \,dt}}{{3 - 0}}\]

\[\overline{\omega} = \frac{{\int_{0}^{3} 8t^3 \,dt}}{{3}}\]

\[\overline{\omega} = \frac{{[2t^4]_0^3}}{{3}}\]

\[\overline{\omega} = \frac{{2 \cdot 3^4 - 2 \cdot 0^4}}{{3}}\]

\[\overline{\omega} = \frac{{2 \cdot 81 - 0}}{{3}}\]

\[\overline{\omega} = \frac{{162}}{{3}}\]

\[\overline{\omega} = 54 \, \text{рад/с}\]

Теперь найдем среднее значение углового ускорения \(\overline{\alpha}\) на заданном промежутке времени от 0 до 3 с:

\[\overline{\alpha} = \frac{{\int_{0}^{3} \alpha \,dt}}{{3 - 0}}\]

\[\overline{\alpha} = \frac{{\int_{0}^{3} 24t^2 \,dt}}{{3}}\]

\[\overline{\alpha} = \frac{{[8t^3]_0^3}}{{3}}\]

\[\overline{\alpha} = \frac{{8 \cdot 3^3 - 8 \cdot 0^3}}{{3}}\]

\[\overline{\alpha} = \frac{{8 \cdot 27 - 0}}{{3}}\]

\[\overline{\alpha} = \frac{{216}}{{3}}\]

\[\overline{\alpha} = 72 \, \text{рад/с²}\]

Таким образом, средние значения угловой скорости и углового ускорения на заданном промежутке времени от 0 до 3 с равны 54 рад/с и 72 рад/с² соответственно.