Каковы скорости первого и второго тракторов, которые одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать понятие скорости и расстояния, а также применить формулу времени равенства расстояния поделённого на скорость \( t = \frac{d}{v} \). Итак, давайте начнём:

1. Введем имена и обозначения для наших тракторов. Пусть первый трактор движется со скоростью \( v_1 \) (в км/ч), а второй -- со скоростью \( v_2 \) (в км/ч).
2. Расстояние между посёлками составляет \( d \) километров.
3. При движении навстречу друг другу, оба трактора будут двигаться в течение некоторого времени и остановятся, когда встретятся.
4. Обозначим время, за которое первый трактор достигнет встречной точки, как \( t_1 \), а время, за которое второй трактор достигнет этой же точки, как \( t_2 \).
5. По определению, скорость можно выразить как \( v = \frac{d}{t} \).
6. Расстояние, которое проедет первый трактор за время \( t_1 \), равно \( d_1 = v_1 \cdot t_1 \).
7. Расстояние, которое проедет второй трактор за время \( t_2 \), равно \( d_2 = v_2 \cdot t_2 \).
8. Встречная точка находится посередине расстояния между посёлками, поэтому расстояния \( d_1 \) и \( d_2 \) в сумме дают всё расстояние между посёлками: \( d_1 + d_2 = d \).
9. Рассмотрим систему уравнений:
\[
\begin{align*}
d_1 &= v_1 \cdot t_1 \\
d_2 &= v_2 \cdot t_2 \\
d &= d_1 + d_2
\end{align*}
\]
10. Чтобы найти \( v_1 \) и \( v_2 \), нам необходимо исключить \( t_1 \) и \( t_2 \) из системы уравнений. Рассмотрим третье уравнение:
\[
d = v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2
\]
Из первых двух уравнений мы можем выразить \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[
\begin{align*}
t_1 &= \frac{d_1}{v_1} \\
t_2 &= \frac{d_2}{v_2}
\end{align*}
\]
Подставим их в третье уравнение:
\[
d = \left(\frac{d_1}{v_1}\right)v_1 + \left(\frac{d_2}{v_2}\right)v_2
\]
Упростим это выражение:
\[
d = d_1 + d_2
\]
Поскольку \( d = d_1 + d_2 \), скажем, что \( d_1 = x \) и \( d_2 = d - x \):
\[
x + d - x = d
\]
Получается:
\[
d = d
\]
Наша система уравнений сделала это верным.
11. Мы не можем однозначно найти значения для \( v_1 \) и \( v_2 \), так как имеем 2 неизвестных, но всего лишь одно уравнение. Мы можем только найти отношение между ними, используя предыдущие уравнения.
12. Рассмотрим первое уравнение:
\[
\begin{align*}
d_1 &= v_1 \cdot t_1 \\
x &= v_1 \cdot \frac{d_1}{v_1} \\
x &= d_1
\end{align*}
\]
Используя этот результат, заменим \( d_1 \) во втором уравнении:
\[
\begin{align*}
d_2 &= v_2 \cdot t_2 \\
d - x &= v_2 \cdot \frac{d_2}{v_2} \\
d - x &= d_2
\end{align*}
\]
13. Мы видим, что \( d_1 = x = d_2 \). То есть, первый трактор проедет скорость равную расстоянию \( d \), которое отступил второй трактор.
14. В итоге, скорость первого трактора \( v_1 \) будет равна скорости, с которой первый трактор затрачивает всё расстояние \( d \), то есть:
\[
\boxed{v_1 = v}
\]
15. Скорость второго трактора \( v_2 \) также будет равна скорости \( v \), то есть:
\[
\boxed{v_2 = v}
\]
Ответ: Скорость первого и второго тракторов будет одинаковой и равной \( v \).