Каковы скорость, полное, нормальное и тангенциальное ускорение точки, движущейся по кривой с заданными уравнениями

Для решения данной задачи нам понадобятся уравнения координат для движущейся точки. В данном случае, мы имеем следующие уравнения:

\[x(t) = a \cos(\omega t + \varphi_0)\]
\[y(t) = b \sin(\omega t + \varphi_0)\]

Где:
\(a = 4\) - параметр, определяющий масштаб по оси x,
\(b = 2\) - параметр, определяющий масштаб по оси y,
\(t = 2.5\) - время, для которого мы хотим узнать перемещение точки,
\(\varphi_0 = 1.5\) - начальная фаза,
\(\omega = 0.7\) - угловая скорость,
\(\beta = -0.1\) - параметр, определяющий изменение угла отклонения.

Найдем производные функций \(x(t)\) и \(y(t)\) по времени, чтобы определить скорость движения точки и ее компоненты.

\[\dot{x}(t) = -a \omega \sin(\omega t + \varphi_0)\]
\[\dot{y}(t) = b \omega \cos(\omega t + \varphi_0)\]

Теперь найдем вторые производные, чтобы определить ускорение точки и его компоненты.

\[\ddot{x}(t) = -a \omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0)\]
\[\ddot{y}(t) = -b \omega^2 \sin(\omega t + \varphi_0)\]

Таким образом, мы получаем следующие значения для скорости и ускорения точки:

Скорость:
\(v(t) = \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2}\)

Тангенциальное ускорение:
\[a_t(t) = \frac{v(t)}{\sqrt{x"(t)^2 + y"(t)^2}} = \frac{v(t)}{\sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2}}\]

Нормальное ускорение:
\[a_n(t) = \frac{v(t)^2}{R(t)}\]

Полное ускорение:
\[a_{\text{пол}}(t) = \sqrt{a_t(t)^2 + a_n(t)^2}\]

где \(R(t)\) - радиус кривизны, определяемый как \(R(t) = \frac{{(x"(t)^2 + y"(t)^2)^{\frac{3}{2}}}}{{x"(t)y""(t) - y"(t)x""(t)}}\).

Теперь мы можем рассчитать все значения для заданных параметров. Подставим значения параметров в уравнения и производные, чтобы получить численные результаты.

\(x(t) = 4 \cos(0.7t + 1.5)\)
\(y(t) = 2 \sin(0.7t + 1.5)\)

\(\dot{x}(t) = -2.8 \sin(0.7t + 1.5)\)
\(\dot{y}(t) = 1.4 \cos(0.7t + 1.5)\)

\(\ddot{x}(t) = -1.96 \cos(0.7t + 1.5)\)
\(\ddot{y}(t) = -0.98 \sin(0.7t + 1.5)\)

Теперь найдем скорость \(v(t)\):

\(v(t) = \sqrt{(-2.8 \sin(0.7t + 1.5))^2 + (1.4 \cos(0.7t + 1.5))^2}\)

Тангенциальное ускорение \(a_t(t)\):

\(a_t(t) = \frac{v(t)}{\sqrt{(-2.8 \sin(0.7t + 1.5))^2 + (1.4 \cos(0.7t + 1.5))^2}}\)

Теперь найдем радиус кривизны \(R(t)\):

\(R(t) = \frac{{((-2.8 \sin(0.7t + 1.5))^2 + (1.4 \cos(0.7t + 1.5))^2)^{\frac{3}{2}}}}{{(-2.8 \sin(0.7t + 1.5))(0.98 \cos(0.7t + 1.5)) - (1.4 \cos(0.7t + 1.5))(-1.96 \sin(0.7t + 1.5))}}\)

Теперь найдем нормальное ускорение \(a_n(t)\) и полное ускорение \(a_{\text{пол}}(t)\):

\(a_n(t) = \frac{(v(t))^2}{R(t)}\)

\(a_{\text{пол}}(t) = \sqrt{(a_t(t))^2 + (a_n(t))^2}\)

Для того, чтобы определить перемещение точки за время от 0 до \(t\), мы можем выразить координаты \(x(t)\) и \(y(t)\) через параметры, подставить \(t = 2.5\) в уравнения и вычислить значения.

\(x(2.5) = 4 \cos(0.7 \cdot 2.5 + 1.5)\)
\(y(2.5) = 2 \sin(0.7 \cdot 2.5 + 1.5)\)

Подставив значения, получим конечные численные результаты.