Каковы силы натяжения на крайних нитях, если длина средней нити равна t и на систе-му не действуют внешние силы?

Чтобы решить данную задачу о силах натяжения на нити, мы можем использовать закон сохранения энергии. Когда на систему не действуют внешние силы, сумма потенциальных и кинетических энергий остается неизменной.

Давайте представим, что у нас есть система из трех нитей, где средняя нить имеет длину \(t\), а крайние нити натянуты под углом \(\theta\) к горизонтали. Мы хотим найти силы натяжения на каждой из нитей.

Пусть масса каждого участка нити будет равна \(m\), а сила натяжения на средней нити будет обозначена как \(T\).

Давайте рассмотрим свободное падение каждого участка нити от верхней точки до точки, где она соприкасается с нижней нитью.

Потенциальная энергия каждого участка нити в начальной точке равна \(0\), а в конечной точке будет равна \(mgt\), где \(g\) - ускорение свободного падения, принимаем его равным приблизительно \(9.8 \, м/с^2\).

Таким образом, разность потенциальной энергии будет равна \(mgt\).

Учитывая закон сохранения энергии, сумма кинетической энергии и потенциальной энергии в начальный момент времени должна быть равна сумме кинетической и потенциальной энергии в конечный момент времени:

\[0 + 0 + mgt + mgt + mgt = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2\]

Поскольку скорость \(v\) каждого участка нити одинакова, мы можем записать:

\[3 \cdot mgt = \frac{3}{2} m v^2\]

При решении этого уравнения, масса \(m\) сокращается, а значит, мы можем сразу перейти к сокращенному виду:

\[gt = \frac{1}{2} v^2\]

Поскольку мы хотим найти силу натяжения на крайних нитях, нам нужно разделить силу натяжения на нижней нити на синус угла \(\theta\), а на верхней нити - на косинус угла \(\theta\).

Воспользуемся вторым законом Ньютона для верхней нити:

\[mg\cos(\theta) = T\cos(\theta)\]

И для нижней нити:

\[mg\sin(\theta) = T\sin(\theta)\]

Выразим \(T\) из каждого уравнения:

\[T = mg\cos(\theta)\]

\[T = mg\sin(\theta)\]

Заметим, что массу \(m\) можно сократить из обоих уравнений.

Таким образом, силы натяжения на крайних нитях равны \(T = g\cos(\theta)\) и \(T = g\sin(\theta)\). В данном случае мы получаем, что силы натяжения на крайних нитях равны силе тяжести, умноженной на соответствующий косинус или синус угла \(\theta\).