Каковы шансы студента выбрать по меньшей мере четыре правильных ответа методом случайного угадывания?

Шансы студента выбрать по меньшей мере четыре правильных ответа методом случайного угадывания зависят от количества вариантов ответов и количества вопросов.

Предположим, что для каждого вопроса есть \(n\) вариантов ответов, и студент должен выбрать только один. Если вопросов всего \(k\), то общее количество возможных комбинаций ответов равно \(n^k\).

Теперь мы можем рассмотреть следующие ситуации:

1. Студент выбрал все правильные ответы. В этом случае, чтобы получить по меньшей мере четыре правильных ответа, студент должен выбрать все ответы правильно. Таких комбинаций ответов будет только одна.

2. Студент выбрал три правильных ответа. В этом случае, студент должен выбрать три правильных ответа из \(k\)-вопросов и один неправильный ответ из оставшихся \(n-1\) вариантов ответов для каждого вопроса. Количество возможных комбинаций для этого случая равно \(C(k,3) \times (n-1)^k\), где \(C(k,3)\) обозначает число сочетаний из \(k\) по 3.

3. Студент выбрал два правильных ответа. В этом случае, студент должен выбрать два правильных ответа из \(k\)-вопросов и два неправильных ответа из оставшихся \(n-1\) вариантов ответов для каждого вопроса. Количество возможных комбинаций для этого случая равно \(C(k,2) \times (n-1)^{k-2}\).

4. Студент выбрал один правильный ответ. В этом случае, студент должен выбрать один правильный ответ из \(k\)-вопросов и три неправильных ответа из оставшихся \(n-1\) вариантов ответов для каждого вопроса. Количество возможных комбинаций для этого случая равно \(C(k,1) \times (n-1)^{k-3}\).

5. Студент не выбрал ни одного правильного ответа. В этом случае, студент должен выбрать все неправильные ответы для каждого вопроса. Таких комбинаций ответов будет также только одна.

Теперь мы можем посчитать общее количество комбинаций, в которых студент выберет по меньшей мере четыре правильных ответа:

\[S = 1 + C(k,3) \times (n-1)^k + C(k,2) \times (n-1)^{k-2} + C(k,1) \times (n-1)^{k-3} + 1\]

Общее количество возможных комбинаций ответов \(N\) равно \(n^k\).

Шансы студента выбрать по меньшей мере четыре правильных ответа методом случайного угадывания равны отношению \(S\) к \(N\):

\[Шансы = \frac{S}{N}\]

Подставив значения \(n\) и \(k\) в формулу \(S\) и значения \(n\) и \(k\) в формулу \(N\), мы получим итоговый ответ.