Каковы радиусы двух окружностей с общим центром при условии, что их отношение равно 3:5, а хорда большей окружности

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство касательной и хорды, проходящих через одну точку и образующихся на окружности с общим центром.

Пусть \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы меньшей и большей окружностей соответственно.
Из условия, отношение радиусов равно 3:5, то есть \(r_1:r_2 = \frac{3}{5}\).

Теперь рассмотрим хорду большей окружности, которая касается меньшей окружности. Пусть эта хорда имеет длину \(d\).
Так как хорда является касательной меньшей окружности, то длина радиуса меньшей окружности до точки касания будет равна половине длины хорды, то есть \(\frac{d}{2}\).

Используя свойство треугольника, получим следующее уравнение:
\(\frac{d}{2} = r_1 + r_2\).

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из условия отношения радиусов и уравнения с хордой.
Сначала умножим условие отношения радиусов на 2, чтобы избавиться от дроби:
\(2r_1 = 3r_2\).

Подставим это выражение в уравнение с хордой:
\(\frac{d}{2} = 2r_1 + r_1 \implies \frac{d}{2} = 3r_1\).

Теперь найдем значение радиуса меньшей окружности, подставив значение длины хорды:
\(r_1 = \frac{d}{6}\).

Также можем выразить радиус большей окружности через длину хорды:
\(r_2 = \frac{2d}{6} = \frac{d}{3}\).

Итак, мы получили следующие значения радиусов:
Радиус меньшей окружности: \(r_1 = \frac{d}{6}\).
Радиус большей окружности: \(r_2 = \frac{d}{3}\).

Таким образом, радиусы двух окружностей с общим центром при условии, что их отношение равно 3:5, а хорда большей окружности, которая касается меньшей окружности, имеет длину \(d\), равны \(r_1 = \frac{d}{6}\) и \(r_2 = \frac{d}{3}\).