Каковы площади закрашенных фигур, если площадь треугольника равна 1 и каждая его сторона разделена на равные части

Для решения данной задачи нам потребуется разбить треугольник на несколько более простых фигур и рассмотреть каждую из них по отдельности.

Разделим треугольник на четыре равных треугольника, соединив все отмеченные точки с серединами противоположных сторон. Получим четыре маленьких равносторонних треугольника внутри искомого треугольника.

Поскольку площадь треугольника равна 1, то каждый из этих маленьких треугольников будет иметь площадь \(1/4 \cdot 1 = 1/4\).

Теперь рассмотрим шесть прямоугольных треугольников, образованных отрезками, соединяющими отмеченные точки и вершины треугольника. Мы можем заметить, что эти прямоугольные треугольники образуют два квадрата: один внутри и один снаружи исходного треугольника.

Площадь внутреннего квадрата будет равна сумме площадей трех прямоугольных треугольников:
\[
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]

Площадь внешнего квадрата будет равна разности площади исходного треугольника и площади внутреннего квадрата:
\[
1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]

Таким образом, площадь закрашенных фигур равна:
- площадь четырех маленьких внутренних треугольников: \(4 \cdot \frac{1}{4} = 1\);
- площадь внутреннего квадрата: \(\frac{3}{4}\);
- площадь внешнего квадрата: \(\frac{1}{4}\).

Таким образом, общая площадь закрашенных фигур равна:
\[
1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}
\]

Итак, площадь закрашенных фигур равна \(\frac{5}{4}\).