Каковы площади фигур, ограниченных кривыми у = х2 + 4х + 10, х = 0 и касательной, проведенной в некоторой точке

Чтобы найти площади фигур, ограниченных кривой \(y = x^2 + 4x + 10\), \(x = 0\) и касательной, проведенной в некоторой точке, мы можем следовать следующим шагам:

Шаг 1: Найдите точку касания касательной и кривой
Для того чтобы найти точку касательной, проведенной в некоторой точке на кривой, мы должны взять производную функции \(y = x^2 + 4x + 10\) и приравнять ее к \(0\). Решив уравнение, найдем значение \(x\) - координату точки касания.

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2x + 4 = 0
\]
\[
2x = -4
\]
\[
x = -2
\]

Таким образом, точка касания будет иметь координаты \((-2, y_0)\). Чтобы найти \(y_0\), подставим \(x = -2\) в уравнение \(y = x^2 + 4x + 10\).

\[
y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 10 = 4 - 8 + 10 = 6
\]

Таким образом, точка касания будет иметь координаты \((-2, 6)\).

Шаг 2: Найдите площадь фигур, ограниченных графиком, осью \(x\) и касательной
Фигура, ограниченная графиком функции \(y = x^2 + 4x + 10\), осью \(x\) и касательной, является треугольником. Для нахождения его площади, мы должны найти высоту и основание треугольника.

Высота треугольника - это расстояние между \(y\) - координатой точки касания и осью \(x\). В нашем случае, \(y\) - координата точки касания равна \(6\), а ось \(x\) задается уравнением \(x = 0\). Таким образом, высота треугольника равна \(6\).

Основание треугольника - это расстояние между двумя \(x\) - координатами точки касания и начала координат (\(x = 0\)). В нашем случае, это расстояние равно \(|-2 - 0| = 2\).

Поэтому площадь треугольника можно найти по формуле:

\[
\text{{Площадь}} = \frac{1}{2} \times \text{{высота}} \times \text{{основание}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2 + 4x + 10\), \(x = 0\) и касательной, равна \(6\).